I III I V

j^\4* 6* 8* 10* II* /

m^ / \ ïli t V

etc.

A LA Théorie des suites. 419

fflT *

i/ï^Vj* 5* 7^ 9* ^

^C^+^+^+^ + etc.)

^7+7+7+9^+ etc.)

4^1 etc.

les coefEciens des puissances de — dans ces séries étant les termes de

la série générale S — ^ se calculeront par les formules du n"*. 941 ,

en faisant usage de la remarque du n% 938 ^ ou par des procédés que nous indiquerons plus bas.

io88« Les mêmes expressions donnent les facteurs des séries

V 7— + etc.

+ 7— + ctc;

qui sont en même tems les dévelbppemens de sin u et de cos u ^ et ceux des expressions

^y =n:^- y ITT »/irr ^ -y m

Changeons maintenant uV — i en 2^ et 2^ en — uV — i ; il viendra

=-H 1 1 — h etc.

— i: — =1+ — + + ^+ etc.

Ggg 1

4Z0 Ch. III. Application du Calcul intégral

On peut encore , à l'aiàe de ces formules , décomposer aussi en facteurs l'expression » car on a

SI l'on fait dans ces résultats j^=o, il viendra

Multipliant entr'elles les quantités e'dzè" et «Ci*"'', on aura

A LA Théorie des suites. 411

et faisant pour abréger x-^y^^u , x — y=v j on conclura de ce qui précède le développement en produits indéfinis des trois expressions

1089. Avant de reprendre la recherche des valeurs des intégrales définies , nous montrerons comment les expressions que nous venons d obtenir peuvent être employées à la sommation de quelques séries.

Soit i + ^ç + J5][* + Cf +Z?^+ etc.

= (i+*ç)(i+^î)(i + >'0(i+crî)etc, on aura • * ,

B = afir{-ay^ -+ fi y+ fi J'+ etC.

C = ai8 7-f-«i8 J^4- etc.'

et par les formules du n"*. 158, on obtiendra les valeurs de

S^—A +fi +y +<r +1 + etc.

S^=.A^+fi' + y+S'^ + t^+ etc.

S^=a^+fi^ + y^+S'^+t^+ etc.

etc.

Cela posé, l'expression du n*. précédent; donne

et faisant u*=s^\, on en tirera

i + i+ i + i — __ + etc.

(i+î)(i+^0(ï+^î)(i+-^c)(i+:^î)etc.

ji=: , B— , C= , Z?= 5-, "etc.

421 Ch. m. Application DU Calcul intégral

Substituant ces valeurs dans celles de S^ , S^^ S^^ etc. oa trourera

III

5^4=— +-T-+-7-+etc* = ,

etc.

comme nous l'avons indiqué ^ns le n*. 941 j et Ton voit par là

que la limite de la série

ne dépend que de la circonférence du cercle.

Le développement en série de l'expression étant comparé à son développement en facteurs , en faisant «*= i^^*^ , donne successivement

1+ + + 2" + 2 ©• + etc. =

^t-hUU-»-9U^ï-t-rfîAi+T9UU^-77i;"c.

-rf= > ^= , C= çt -D= = — s

-, I I I I îr*

•5.=—+—+--+ etc. =-— ,

etc.

'A lÂ Tm àon I E DBSsvxTss, '41)

et l'on aura en général la limite de la série .

exprimée par la circonférence du cercle. Nous observerons que l'on peut faire usage de ces résultats pour simplifier les séries du n^ 1087.

1090. Les formules qui terminent le n^. 1088 étant traitées par le procédé du n°. précédent ^ donnent aussi des sommations trèsélégantes. On en tire d'abord

puis

9T*+ap*A 25

or il est facile de voir que

et qu'en y faisant a: =:kV^—i ,' ^j^=— -vk — i , on aura

cos V + cos ( u — V ) sin « sîn v

— ^ ^=cos v-i — = cos v+ tang f « sin v

i + cosz^ i+cos« ^*

=(, + jîL Y.-^Y. +ii Y,^î) „c.

V 7 ^^/V 7r+U/\ 'ITT — u/\ Xv-^uJ

4^4 Ch* IIL ApPLiCAtiON DU Calcul ïnté^ral

Maintenant si l'on substitue dans l'expression cos v+tang ji^sin v ;

au lieu de i/ • —, au lieu de v . —, et qu'on réduise en série

n in

les fonctions de { : savoir , cos -^ et sin — , on obtiendra

T7 rfiT cr*r* tV^ m^

, + -J: tang ^^ ' ^2"^ tang —

=(i + -î-Yi — ^Y^ +-^Y^- -^) etc.

d'oU l'on déduira les sommes des séries

S,= +-^ ; — +rtc.

J.= 1 1 1 h etc.

etc.

la première donne immédiatement

T mT I II t .

—tang — = — + ' — + etc.

zn %n n^^m n + m 3» — m '^n + m

Nous aurons encore par les formules déjà citées

d*oii

=r « *-±:?(i +^^:±>:iY-^^^^Yi +^^^^ "1 etc.

'-^E^=('-^âG+SX>+^)(-;^^)-

A LA Théorie des suites'. 425

Si maintenant on fait x=tt V — i , ^ j^=— v V^— i, il en résultera

cosv — cos(«— v) sinttsînv

i i = cosv =cosv — cot^nsmv

» I — COS« I— COStf

et si l'on change y en — — , « en — , puis que Ton développe