S II

en série 9 suivant les puissances \ , l'expression cos^ +cot-^sin — ;

%n m xn

on obtiendra

I +-^cot ^ Vrcot 1

xn xn 2.4^^ %.j^.6nl xn ^

=(,+xY, — L-Y.+^Y. — i Y. +i^)«^:

\ m/\ xn—m/\ xn+m/\ j^n-^m/X 4n+m/

et on en conclura les ezpresnons des limites de

5,= + — + — etc;

m xn^-^m xn + m 4» — m j^n + m

ç ^. ^^^^ I ^^^ j ^^ etc.

etc.

On aura en particulier

— cot = + ; H ; etc.

xn xn m xn^-m m+m ifir^m ^n+m

Appmdicc. Hhh

4tS Cn.lll^ Application DU Calcul tnréGfBLAL

1091. Nous conclurons de ce qui précède que

xn-^m m+m 3» — m ^n-^m

etc.

(mnt m'jr\ ^ tang — +cat — J= — ; 2/1 2/2 / • m'^

fSSlA

ij72"-~//t j^+rit 'ift^'^ni

T / mT :— ( cot

tang ^ j:

iztang

+ etc.

— =- cet — .

miF n n

Si Ton combine deux à deux ^ à partir du second , les termes de la première de ces séries > on aura

12 sm

. mnr m n^^^m^ 4^*— -/72* 9^* — /72*

I Sn^^-^m*

+ etc;

d'oïl on tirera

2/72/2Sm

II I

En opérant de même sur la deuxième série , il viendra successif vement

T mT I -cot — = — 72 n m

— etc.

cot — =î= 1 1 1 L etc.

n n^^m^ ^ Arf^^n^ gn^^^m^ i6;»*-^*

Â LA Théorie des suites. 417

Soit »= I , et faisons m = — «^V^— 1/ nous aurons

I îT cr

«(* — O en observant qae ( Int. n". 37 )>

cet /B T =: ... ^s — '

Lorsqu'on change « ^n n dans <e résultat , on retrouve la série du n"*. 944 , et la limite que nous lui avons assignée dans ce n"*.

1092,. En développant^ suivant les puissances de /Rj chaque

terme de la série

et désignant par 5—., '^TJ * ^^^^ ^^^ ïin^îtes des séries

I + "T + etc. 1 + -7- + etc.

on trouvera

-— cot»iir = 5-^ + ,n«5 — + m*5-L + etc.

mais on a par le n"", 949 ,

-cot-ii^-r '■ — ~ — 2 1 ^etc.

B^, B^j B^j etc. étant les nombres de BernouUi ; et par conséquent

— cot/nT = — ^+ — 7-^+ ^+etc.

1/71* xm %' • 3lO*4 i.3«4«5«6

Hhh 2

4i8 Ch. III. Aptucationdu Calcul intégral

Ja comparaison de ce développement et du précédent donne

a — = • 0'-7-=' ^ o — r-= "T • etc.

comme on Ta indiqué dans le n*. 941.

1093. Si on écrit in y au lieu den, dans les formules du n% X085 ^ on en déduira les suivantes

mT mT /m — m\/ in+m\/ j^n^^m\/4n'\-m\ M xn \ xn A m A j^n A 4« /

cos —

tang^ =(-^ YJ^^=^ Y^^±^Yi^=:^Yiî^±^) etc.

2/ï \n — m/\n + m /\xn — m/\\n'^m /\Kn — m/

mit In — m\f n-^-m \/3« — /w\/^'2 + 'n V5/» — ni) xn \ m /\xn'^m/\xn'i~m/\^n^^m/(^+m)

•" ^=C-^X7.T:rXtrîrX7£;rXirir) '^

xn \n^^m/\n + m /\xn — m/Xxn-^m/x^n — m/

cosec —

= IL (±Y-Jf Y.Jl-Y l2)

m \xn — m/\xn+m/\An — m/\An+m/

xn m \2/i— /w/\2«+/»/\4/2— /«/\4/2+

. T 2.2.4.4,6.6.etc.

en se rappelant que -= : : — ,

2 ï-3«3-5»5.7-etc.

Cette dernière expression se tire immédiatement de celle du sinus

qui en fournit beaucoup d'autres de la même espèce. En tSkt, on a

T^ /ï • fnT — = — sin

(,Jî Y-^Y ii Y>L.)«c.

\xn — m /\xn + m /XAn — m /\ An-tm /

X m xn \ xn^-^m / \ 2/2 + ;» / \ /fn-^^m /\ j\n

et si l'on fait ;n=7z , on retombe sur la valeur ci-dessus. En prenant

— = s , u en résulte sm = sin 7 tt =-— =• et

^ — - 4.4»8.8.i2.i2.i6. i6.efc.

— = Kl.

* 3-5-7«9*iï»i3«i5''7-^^c*

La substitution de la première valeur de — , dans cette

conduit à

y^ 2.2>6.6>io.io. 14. 14. 18. i8.etc.

A LA Théorie des suites. 419

Si ion suppose — = — , 11 viendra sin =sin *7- •»• =« — et

ni . 2/ï 6 1

7 3,6.6*i2.ii.i8.i8.i4.ete. ^

1 1.5.7.1T.13.17. i9,a3.ctc.*

Ces diverses expressions^ de ^7, peu propres à en donner des valeurs approchées , sont très-commodes pour en obtenir le logarithme: on a

^ !• i.4*4*o*6«etc* , ,^, ..\^ .\r ,%

— = ^-^ ^ = »(^— T)(i + y)(ï— T)(i+T)etc,

2 1.3.3. 5. 5. 7. etc.

d'oîi on tire

^ = 4(i-i)(i— ^)(i-:^)etc.

U = l4 + l(i-^) + l(i-^) + l(i:jL)+etc.

développant en série les logarithmes des binômes , il viendra

.11 1 i lT=:l4 ^ -—^ —-3 — ^^ etc.

III I

Il II

etc.

etc."

et posant pour abr^er ,

etc.'

etc.

on aura

U = 1 4-(^-i) -1 (i?-i)-i (C-t)-i (Z)-i)- etc;

Si l'on pousse le calcul jusqu'au vingt-troisième terme de cette

on trouvera

ce logarithme est népérien f il correspond dans le s/stême décimal à

ces

sin

4}o Ch, IIL Application vu Calcul intégral

Ea écrivant dans Teicpression de sm — et dans celle de cos — ,

xn xn .

rapportées plus haut j n^-^^m y au lieu de m^ et en faisant attention que . (72— rw)^ mT "(«— ui)^ . mTT

sin i i-= cos , cos — = sm ,

xn %n %n m

on ofaotiendra les nouvelles formules

\ xn J\ xn / \ xn /\ ^n /\ j^n /\ 6n J * m / xn — m\f xn+m\/ 4/z — m \f j[n-\'m \[6n — m \/6n+m \ ~ n\ n /\ 'in J\ xn A Kn A %n A 7» /

ffiT w n — m i(7î+/n) 3(3/2 — m) 3(3»+^)

COt = • — ; r • —7' r • --; r etC.

xn X m x\xn — m) 1(1/2 + aw; 4(4^ — m) mTT nr m l(in — ni) 3(1/2 + '") 3(4»-— m)

tang — = . —7 r-. -7 T. — r etc.

xn X n^^m xsji-^m) 1(3/2 — m) 4(3/2 — m)

â/x 9- /72 \xn — m/\xn'\'m/\4n'~'m/\j{n+m/

%n 9r\n — m/xn-^m /\ 3/2 — m /\in+m /\^n-^^m J

En considérant Parc — , on auroit

, ni'TT sm

172 mf xn^^m

'^mX/ xn4'm\/^-^m\/ 4n+m\ ZT AIÏhT Al^i^^ AImT/ ^^*

. k^ k\ xn — k / \ xn+k J\ An — k A 4«+*

sm ^ ^

et si l'on connoîssoit le ^tnus ^ k connus ^ etc. de Tare ^— ^ , ces

derniers résultats donneroient des valeurs du sinus , du cosinus , etc. de lare •

1094. Nottsavons emprunté le secours du Calcul int^^l , pour obtenir les facteurs du sinus et du cosinus ^ d'où nous avons déduit ceux des 'expres^ons

Â LA Théorie des suites. 431

Ettler y esc parvenu dans son Imroduceio in jinalysin infinitorum^ par des moyens purement algébriques ; mais la manière dont il y fait entrer l'infini , nous a £iit préférer la considération des limites , employée pour le même objet par Simon L'Huillier de Genève. En suivant la marche de ce dernier , nous commencerons par déduire quelques' conséquences aussi simples qu'élégantes , du théorème de Côtes ^ ou de la résolution des équations à deux termes.

On a donné dans le n"*» 168 » l'expression des facteurs trinômes des formules :c"*+ a" etjp** — a^i pour distinguer le cas oîi l'exposant m est pair , de ceux oii il est impair , nous écrirons successivement i/n et i/w + I , au lieu de m. Cela posé, les facteurs de **"*+ a*", teront tous de la forme

en faisant jr = ^ = i ^ ils deviendront de celle-ci :

x(i — Îosa) =4(sin^A)% et on aura Ji:*"'+a""=i;

mettant pour a les valeurs -^ , -?— , etc. et extrayant la ra^ cine quarrée de chaque facteur ^ on trouverai

t/r= 2".siû .sm--^ — «siA-^ — . . • • • • «sin •• •(-^);

La formule jc*"+* + ^ï*^% outre m facteurs trinômes *' — itf jc cos X + tf*, a on facteur réel du premier degré at+h, qui se réduit à x, et il vient

1 = X sin -. sia . sm — . • »sm -•••(5).

La formule Jt**— -/i'"* a un facteur «• — a* et iw— i autres de la forme x^ — xâ;c cos a+a*; en divisant par le premier on a un quotient

qui se réduit à m y lorsque ^ = « = i j et comparé au produit des m—i facteurs trinômes , il domie

i/lw=x 'sm .sm .sinp— — ••••••sm ••••••(Cn

•^ /72x;rx/7sx m X

43^ Ch. III. Application du Calcul intégral

Si Ton dégage de même la formule a:*'"'^*— tf'"**"', du facteur x — a^ on en déduira par la supposition de x = ^ = i ,

K 2/W+ i=i"'sm .sw : .sin — r- ...sm ....(/?).

Le n"".' 172 nous donne aussi la décomposition de l'équation AT**— 2r:c'"cos20+r*=o, en facteurs du second degré , de la forme

:t*— p2Jtcos -•¥ i,dans laquelle» doit recevoir toutes les valeurs

depuis o jusqu'à m — i inclusivement ; et en observant que

f/w+ /2V+ 2- P (^ — ^'^ — i 0 cos ^ = cos ,

on aura ^* — 2 x cos 1- i >

mais alors il faudra, si m est paire, pousser les valeurs de n jusqu'à m y et seulement jusqu'à m— i dans le cas contraire. Pour distinguer ces deux cas , nous mettrons successivement im et zm+i au lieu de m^ et nous obtiendrons , en faisant x=r=z i les équations

sin ^ = 2*"- *sm .sm .sm .sm .sm ..•••

%m Xm 2/72 2/72 2/7X

• sm •sm ■ - — .sin— — .•• . . «C-^

sm 9 = 2*"sm — — -.sm .sm— .sm- .sin

2/72+1 2772+1 2fn+I 2/72+1 2/72+1

sm .sm (F).