OT+I
109Ç. Les six équations {A), (S), (C), (Z)), (£), (F)v fadles. à obtenir , et déjà très-remarquables par elles-mêmes , conduisent immédiatement aux résultats que nous cherchons , en observant que l'expression c'dzT* est la limite de
(.+^)"=fc(.JL)"
relativement aux accroissemens de /72 ( Int. n"*. 3 2 ) , et en substituant
»+ — , au lieu de *, et i : au lieu de a, dans les fac-
teurs de «•"sta*".
Les
 LA Théorie des si/ites. 433
Les facteurs trinômes de Texpression f i + — j +( t J ^
étant en général de la forme
(1 + — ) — H^+— )G ^)cos A + (i ^) ,
se réduisent à
= 4(siniA)»{i + -— (cotix)»},
et mettant pour a ses valeurs ^ — , - — • etc. on formera le
%m un
produit
41 sin Il sm-^ — I 1 sm j
\ im 2/ \ xm 2/ \ im 1/
X ( 1 +:^/cot— -Y| [ i +-— /cot-^ -Y} l 4/»*\ 2/7» x/ J l 4/«*\ %m %/ }
X(i+— fcot ) L
Cette dernière expression , réduite par l'équation {A) y donne
i l 4mA 2/72 2/ J
f AtV 2/72—1 ^V)
XiH-— i(cot J };
l 4m\ im 2/ J passant maintenant aux limites ^ en observant que celle de -Icot ), est J on trouvera
Jppcndkc. lit
434 ChAIL Application nu Calcul INTÉGRJL
On seroit parvenu au même résultat , en décomposant Texpression
im— 1 . «V» V ftjn— I
\ im — I / \ %m — I /
im ^ ^ ^ t">
En second lieu, si Ton prend Ç iH j — C i — j ,on
aura le facteur ( n j — (i ) avec m — i autres qui
seront de la forme
(i + — )— i(l+— -Yi ^)cosA + (i —)
\ xmj \ \m/\ xm J \ xm i
et conduiront comme ci-dessus à
4(sin^A)»{, + -l^(cotiA)«}.
Les valeurs de a relatives à ce cas étant • . etc. on ob-
tiendra , en arrêtant au second terme le développement du premier facteur > mis à part , le produit
4" \ sm ) l sm I 1 sm ^ - )
\ xm x/ \ xm x/ \ xm i/
{ , + ^(oo,-^ :)•}{. + -^(co, -Ji- rV }
l 4>w \ xm 1/ ) l Am^ \ xm x/ }
x{i + rU<>t ] I >
l 4/n \ xm x/ }
et on conclut de là , en vertu de l'équation (C) ,
xj I + ~(cot-^-) ! 1 1 + ^(cot ^) }
l 4^2* \ xm x/ ) K 4/n \ 2/w 2/ J
X)i+ -^(cot J [.
V 4^» \ xm 2/ J
Enfin la limite de cette équation donne
A LA Théorie ves suites. 435
ce qu'on auroit également trouvé en opérant sur
tm— I - ^ ^ 101— I
\ im — I / \ xm — I /
1096. On obtient d'une manière -analogue la décomposition de l'expression c* — icosi^+e"*, en facteurs binômes. Les facteurs trinômes de l'expression
(iH ) — 1( H ) (i ) cosif+fi — — ; — J 9
étant de la forme
(1 + —^)— îCi+-^— Yi ^VosA + ('i A—) ,
reviennent à 4(sin ^ a )' { i -t- ( cot j x )• } ;
* mettant pour \ toutes, les valeurs dont il est susceptible , on for-> mera le produit
'( sm — -— j ( sm 1 ( sm ) • . . .1 sm 1 1 sm )
*«{'+û^("'ï^)"} {'+j:^{""-^y} {'^j^iv{""^y}
x/,+jl(e„,?r=îY}{, + __^(co,^"},-
l (4«+i)*\ l«+i/ J t (4n+a)*\ tn+l/ >' qui se réduit à
l 4/2+1 \ 1/2+ 1/ H 4/2+ 1\' in+1/ J
XU +
en vertu de l'équation ('F) ; et prenant les limites , on aura seulement
le même résultat se déduiroit aussi de l'expression
43<5 Ch. III. Application du Calcul inté gral
La formule t*' — icosi^ + «"** est encore susceptible d'une autre décomposition , qui s'opère en la transformant en
«•' — 1 cos 2 ^ + e""*'{ ( cos 1 ^ )*+ ( sin i p )■}
= ( «' — «"'cos 1 ^ )* — ( e"' V — I sin 1 ^ )■ = { «'— «"'(cos 2 ^ + y — I sin 2 ? ) } X {c' — e""'(cos2^ — V/— ^i sin 2 p) }
= (*•-*■"(*-'' ^^))(.'--(*+**^^Vl«t.n-. 38), et le développement de e' — e~^, du n". 1088 , donne
erc.
multipliant entr^elles ces deux expressions ^ on trouvera
etc.
etc.
■ ij
A LA Théorie des suites. 437
On obtiendront aisément par ce qui précède les facteurs des' formules
«*+ 1 cos 1 ^ + r* , t' — 2 cos 2 f — r*
t' — isec 10 + «"'', t' — itangi^ — «"*.
1097. Euler tire des considérations du n"*. 1089 y le moyen de transformer en série le produit d*un nombre de facteurs , soit fini , soit infini ; en effet , la série
i+^(;+5î*+Cî' + Z?î*+ etc.
étant supposée le développement du produit
(i+«î)(i+^î)(t+>î)(i+J^î), etc. =P, devient égale , lorsque { = i , à lunité augmentée des diverses sommes que Ton obtient en iréunissant les lettres a^ fi , y^ S", avec leurs produits deux à deux , trois à trois , etc. Si l'on prend pour ces lettres tous les nombres premiers , on aura le produit
(i+i)(i + 3)(i + 5)(i+7)(i + ii)(i + i3)
= i + i+3 + 5 + 6+7+io+ii + i3 + i4+i5 + i7+etc.
renfermant tous les nombres entiers , excepté ceux qui sont dei puissances ou des multiples de puissances. On a de même
On trouvera des relations analogues pour le cas oîi les nombres a, liy y^ i 9 etc. sont négatif ; il viendra par exemple
(-^X-rX-fX-^X-T^)-
