AIT
La valeur finie de cette intégrale , — -1 cos — , étant comparée au
2iA
produit indéfini que nous venons d'obtenir ; conduit à une expression de cos — > pareille à celle da n*« 10S5.
1104. Nous prendrons pour dernier exemple de la recherche des
valeurs des intégrales-, la formule /^/^rlT-V L'équation *
obtenue dans le n**. 107 1 , deyient
lorsqu'on y fait mT=zqn\ et comme on a d'ailleurs
l.l......(S^l)q—qfdx{\^\ ^
il en résulte
d'oh Ton conclut
454 Cri. IIL ApTUCAtios nu Cxtcut iNtàf^RAL
Il faut se rappeler que toutes les intégrales^ de cette éqaa^m ont pour limites A:=a et ;cr= i ; pour plus dVnîformité oouJ y changerons p en /F — I , *t nous aurons
Au moyen de cette équation ^ et en se rappelant que si r désigu un nombre entier , et 5 un nombre fractionnaire
/^*(li)=i.2...r, /^Ar(li)=5(5-l)(i— 1)... (5— r+ !)//*( U) ,
nous obtiendrons , ^
i"*. En faisant f =/^,
^-5T;-='»/«^-'''«(i-*"r' WS
/..(il)
et prenant /? — i = "j ;ï = a,il viendra
L'intégrale du second membre ne dépend que du cercle ; on y ramèn« immédiatement celle du premier, en observant que i doit nécessaU
rement être un nombre impair , sans quoi - seroit un nombre en^
tier 9 et que par conséquent si Ton change *i tn 1 î + 1 1 on aura
/i/jc ( 1 - ) =-, i, -i. ^ — J—fjx( 1 - ) ;
puis supposant i + 1 = o , dans Texpression de fdxCi -V , on en
tirera
A LA Théorie des suites, 455
d*oit l'on déduira enfin
aj+i
\ JC/ 2 2 2 2 2
2*. En faisant qz=s%p^ nous trouTerons
=«/«"*TVAr ( I — «• y- (3) ;
xJ
multipliant cette équation membre à membre , par l'équation (i) , nous parviendrons à
j^-=ft*/x""Jx(i^K')'-\fx*""dxii—x')'^' . . . (4) :
posant ensuite p = -9 ^^ = 3 > nous obtiendrons
II est visible par cette équation > et par ce qui a été dit plus haut.»
^ que la transcendante /^*l") présente seulement deux eas
distin(;ts , savoir :
t^CD
/(,-x')« V(iZI^)
P xdx 1}
'y -3-3 j'> lorgne i=> ,
JX 1-L Kl— r^- •^ /i— :r^
lorsque i=:2 j
4^6 Ch. III. Applicatioi^ du Calcul iNrécRAL
ou f suivant la notatioa du n*. 1079 ,
/•* dx '
e0 observant qu'entre les limites x=o et ;>:=:: i , on a en général
A-^-V;r(i-x") '^ =-^A«-Vx(i-^-) '^ ( n% 1079 ) »
de cette manière la formule /^xTl-^ ne dépendra que de la
seule transcendante désignée par u^ à la page 407. 1105. Ce que nous venons de faire sur les formules
fdx(A^ ^ fdx\\^ , peut s'eflfectuer également sur les
autres formules du même genre j mais au lieu de nous arrêter à des cas particuliers , nous allons démontrer ce théorème général :
n tX m étant des nombres entiers.
Soit pour abréger /^^(l^J =:4(^); puisque Ton a Tiquation (i) se change en
. lorsqu'o
A LA Théorie des suites. 4$7
lorsqu'on y substitue — à/r, — à^, et s'écrit ainsi:
En mettant dans cettç dernière succçssivement au lieu de /^ , les nombres i, %^ln....n, et multipliant tous les résultats entr^eux y il viendra
il est facile de voir que
on conclut de là qu$
jippendiccp M m m
458 Cvi,\i\» Application DU Calcul INTÉGRAI,
et comme
il viendra
\n / h d'bîi bn titefâ l^équàtioh du théorème, ert observant que
iio6* En supposant que les nombres m tt h ayeht un diviseur commun /•, nous tirerons encore de Téquation (j4) la suivante
{r,ir.'ir..i'.m(p(r^m)^(ir\^^)^( '^r^rn)....'^(n^m)]'
Pour cela nous y substituerons successiVeUent r, %r^ ^r^....n à la place de /? , et nous aurons
■ ,/.f -^(t)^(t)^(vo ■■■■■<^
— ^ ) — 4 1 — ) , et ainsi de iuite : par ces valeurs ,
les deux dernières 4ignes ci-dessus donnent
4\ — i » =^ •r.±i',y....mf(r^m)f(ir^m)....f(n^m)^
A 14 TjuàORiS PSS SUITES^ ^$^
d*oti il résulte ' ;
^^J^— {r.xr.y.....mp( r^m)p(xr ^m ).,,.. ^(n^m)}\
et comparant cette équation avec la dernière du n*. précédent , on aura celle du théorème.
II 07» Lorsqu'pn prend > = /j —r (» , ré.quation (A) dç vient
mais on a par les n**, 1 180 et 1 184, ^(nrrrm^ m)z^ — : — : — , et
• n sm
de plus ^K — j=- , a viendra donc
A/ï / \ n y . , mr
/x*sin
FaisoDS successivement /«=i^ 172=1; ^^9 etc. et multiplions; membre à membre , les équations résultantes , nous obtiendrons
Le produit sin — sm — , ^sm -^^ — f
s'évalue par le poyen de la formule (C) du n*. 1094, ça faisant
^ittention que
sm — ==1 sm ..€05 = 2 sm — — .sm •
n n X n z ni n %
Mmm 1
460 Ch. IIL Application DU C ALCVi întègral
et ainsi des autres. On aura par cette remarque
sin— sin — • . .sin i ^^— =x" 'sm- ^ sin - -• . .sm
X sin .sin . ..sm — =-rr. 9
ni ni m X
d'oïl l'on conclura
^mï- ■ ••<?)X?)-^-'-':rr"''"' ■'
' prenant la racine de chaque membre de cette équation , et mettant au lieu de la fonction 4 l'intégrale qu'elle représente , il viendra
Ce beau théorème se trouve , mais sans démonstration , dans ua Mémoire inédit d'Euler ^ que Prony m'a communiqué.
iioS. Les diverses formes d'intégrales définies, dont nous nous sommes occupés depuis le n""* 1076 , suffisent sans doute pour donner des notions exactes et complètes de cette branche de l'Ana* lyse 1 créée par Euler , et faire sentir son importance. Elle est mal« heureusement très-peu avancée; toutes les expressions qu'on est parvenu à évaluer sont circonscrites dans un petit nombre de formes très-particulières : les mêmes résultats qui reviennent à tout moment font voir qu'on n'a presque fait que tourner dans un cercle peu étendu et qui paroît entièrement compris dans la Théorie des puissances du second ordre. En effet , on obtiendra par les for* mules du n*. 1071, la plupart des théorèmes énoncés dans ce qui précède, ainsi qu'on l'a déjà vu pour quelques-uns dans le -^ n*. 964, Kramp , dans son Analyse des rcfracnons astronomiqius , a déduit des facultés numériques ( nom qu'il donne à ce que j'ai nommé puissances du second ordre ) , quelques résultats généraux sur les intégrales définies. Ces résultats reposent sur iin théorème entièrement semblable à celui du n"*. 904 9 et sur des transforma-
uons de l'expression -: , décomposée en facteurs , d'après les
A LA T H È 0 Rf\ DES SUITES. 461
formules du n"*. 1095. Les combinaisons et les modifications qujs ses formules éprouvent dans le passage des nombres entiers aux nombres fractionnaires , conduisent l'auteur à des conséquences paradoxales 9 qu'il reconnoît pour telles et qu'il ne présente que comme 'un motif d'examiner avec l'attention la plus sévère , la Théorie des racines et des logarithmes des quantités négatives. Ces difficultés n'étonneront point ceux qui auront fait attention aux remarques du n"". 878 , sur l'interpolation , et à la manière dont je me suis exf)rimé, en parlant, à la page 173 , de l'interpolation de l'êx-
sm
pression de . Le Chapitre consacré à la Théorie des
xn — • i
facultés numériques est terminé par une méthode pour évaluer ces facultés, soit rigoureusement, soit par approximation , et qui dépend en grande partie des propriétés des coefficiens du développement des puissances des polynômes , dont les Géomètres Allemands paroîssent s'être] beaucoup occupés depuis quelque temps , ainsi que nous l'avons déjà indiqué au n% 1044.
L'analyse que je viens de faire de la Théorie des facultés numi^ Tiques , donnée par Kramp , suffira au lecteur intelligent pour le mettre en état de comparer cette Théorie avec celle des puissances du second ordre , en observant que le Géomètre de Cologne appelle base le premier terme de la progression des facteurs , et qu'il enseigne non-seulement à changer la différence de cette progression , à la réduire , par exemple , à l'unité , comme je l'ai fait dans le n*. 901, mais encore à donner à la faculté une base quelconque, ce qui s'effectue aussi facilement que le changement de différence et par un procédé analogue. Le défaut de tems et d'espace ne m'a point permis d'entrer dans de plus grands détails \ mais j'y reviendrai ailleurs , si les circonstances me le permettent.
iioo. La formule fsT^^îxC i — «*;% égale à ~ [/>5 f— 1 s Dcssénespro-
^ ^ i^n ^ près a évaluer les
entre les limites xr=.o etx^t (n\ xoji ) , se rencontre fré- deï^irtîi'^di quemment dans la recherche de la probabilité des événemens futurs, gr^ds nombres, d'après l'observation des événemens passés ; les nombres mttp,qwL
461 Ch. III. ABFtlCATlON DU CaLCVL INTÈGHA^
dépendent de ces derniers , sont alors tellement grands , qu'il est impossible d'effectuer la multiplication des facteurs dont est formé le produit qui exprime cette inrégrale.
On a recours dans ce cas à une approximation qui fait eonnoitre les premiers chiffres de ce produit , et qui suffit , parce qu'il ne s'agit que de rapports d'intégrales semblables à la proposée. Les formules du n*. 945 5 donnent immédiatement cette approximation ; mats Laplace l'a déduite aussi d'une Théorie générale , dans laquelle il s'est proposé l'évaluation des fonctions de grands nombres, et dont nous allons donner un extrait.
Le principal objet de ces recherches est d'obtenir les iatégralos des Fonctions différentielles renfermant des facteurs élevés à de grandes puissances | par des séries d'autant plus convergences que les exposans de ces puissances sont considérables.
Soit ydx^u'îi''i^'"' ^dx la différentielle à intégrer entre
les limites :r=9 et xz=zV\ u^-iiy «^...f, désignant des fonctions àtx^tts y s\ s" etc. des nombres très-grands. En représentant par Y ce que devient y , lorsque x devient 9 , nous ferons jr=ri-', e étant le nombre dont le logarithm? népérien est l'unité ; nous tirerons
delà t=\ — j et considérant x comme une fonction de/, nous
aurons
. ^ dx t . d^x /• dPx t^
^ dt I ^ dt^ i.x^ dâ U1.3 ^^^' en observant de faire, après les différentigtions , rcpso, valeur qui répond à celle de *=9 et qui change y en Y. L'équation rî=l i
conduisant à <// = ^ , on aura -^ = —"^ , expression dans
, y 4t dy .
laquelle dy introduit au dénominateur les exposans 5 , /, *', etc. Si l'on fait pour abréger -^^ -f — .y^ a viepdra rf/sc^; et fettç équation fournira le moyen d'exprimer les coefficiens diflirwtiels
dx d*x d^v
^ » "J^ > c*c» P^r V t -j^ , etc, en traitant v comme une fonction
A L A T^ i 0 R lE DES S U I T S S. 4^)
it X, etx comme une fonction de r; on trouvera
dx €l*x Jvdx vdv d^x d.vdv dx vd.vdv
Tt~^\ T^~liTt~1^^ dF ~ ~dl^ dt~~d^ d^x d.vd.vdvdx ,vd. vd.vdv
dà dx^ dt . dx^
• • • «etc.
- / f , ^^ vd^vd.v»..dv
En général on aura ^-7= T^i ^^^ supposant dx constant
dans le second membre; et représentant par F ce que devient y quand x tant est égal à 9 , ou r égaîâ zéro ^ — - — * *1 *
sera ce que devieift -—^ , puis on obtiendra
* „' ^-/^ '• Fd.FdF r»
* ri= 9 + F- 1 ; — •— *- -i :.-*"■■ — — — + etc.
I de 1,1 dr 1.2.3
«j r ^f" ' d.VdV r» . -
Le second membre de ta dernière de ces équations dépend des intégrales comprises dans la formule //Vre'''. Si , dans celte formule, on fait €"*= i j les limites de / étaht o et l'infini ^ celles de i seront i
ce qui donnera i . i. 3 .*.•»( n". 1071 ) ; il viendra donc
/. . ♦.rrr . ^^ d,VdV d.Vd^VdV
/^^,=.^r(,>^+-^^+^^^+etc.}
pour la valeur àtfydx^ depuis jc = 0 , jusqu'à la valeur At x ^ qui répond à t infini. Prenant de même la valeur àtfydx^ depuis Xi!i:Sf^ jusqu'à la valeur de x^ qui répond à t infini^ ce qui s'e&ctuera en marquant d'un accent les quantités Y et V^ pour indiquer que dans ce dernier cas êlltfs se rapportent à %\ ùii Trouvera qu'entre les li* mites :e=:8 fet àf=9',
CydX'=s:>V^Y*i\A 1 h- r— — +etC.)
..TT, ^^ ^.^^r d.Vd.VdV .
464 Ch. III. ÂppucATiOKnu Calcul intégral
La variable / a entièrement disparu de ce résultat , dont les dîffjrentiations [ne sont relatives qu'aux lettres Ô et fl'; et si ces lettres entroient primitivement dans Texpression de ^, il ne faudroit faire varier que celles qu'introduiroit le changement de jc en 0 et en V, dans le passage de j à T et à F'»
Pour se convaincre que la formule (A) doit être en général trèsconvergente , il suffit de remarquer que la quantité
ydx I
dy sdu s'di^ dp
+ -TT-- + etc. +
udx u'dx fdx
deviendra d*autant plus petite que les exposans s , ^\ etc. seront considérables, si toutefois le dénominateur ne contient pas des facteurs de la forme (x-^ay, dans lesquels a diflPère peu de 9 ou de 0' ; car il est visible que la substitution de ces quantités rendroit ce facteur trè&-petit , et que les termes divisés successivement par {x—ay, (of— tf)"^*, (y— <i)"-^, etc, deviendroient de plus en plus grands,
i no. Pour ce cas on désignera par ¥ ce que devîçntj/', lorsqu'on y
change :*: en ^ ; et puisque {x — a)"" est un facteur de —- , ou de
ydx
*^'^^9 (^— tf)""*"* sera le facteur correspondant de 1 — ; on
fera y^Yç , y= r^-^^ •*
^ph Ton copclur? /=(1F— Ij')'"+S x^a = vii
V ne devenant point infini lorsque ir=4. Les valeurs de — • — î^, etc.
t. dt dt^ ^
Réduites de réqujftion>-r-^ = vr , en considérant , dans le deuxième membre, v comme fonction At x^ x comme fonction de r, et négligeant les termes multipliés par r , qui s'évanouisscntlorsque xz^^a ,
se réduiront à v , -—^ , -^ , etc. et mettant dans ces demie,
reç V au lieu. de v , pour moquer qu'il ^uty changer x. en «, «près les
diâirentiatioos ,
A LA TnèORIE VES SUJTÈS. 46^
différentiations , on aura
xz=ia+ y—+— +-7^— + etc.
I dx i.z dx* 1.1.3
et Ton en déduira
dW^ t^
dx^ l.2«3
