etc
cxpiession dans Iaquelle.il faut encore effectuer les intégrations com» prises dans la formule //^i/^^ , qui se transforme en
ij— ;»
1— y'rf^ M jL j lorsqu'on fait t = ^, et se réduit par
les formules du n"". 41S > au cas oh l'exposant
est une frac->
tion négative*
En intégrant par parties l'expression /r"i/rr""*"', après T^voir mise
sous la forme ft^^'^.f'dce ; on trouve
r - « '^ ^ - .m . (^ ^^jL^ 2-^ 1) t« •
(« — m){n — iz«— i). • •(« — rm-^r+ i)
r étant le nombre égal au quotient entier de la division de /z par /»+ 1; par là rintégrale proposée est ramenée aux suivantes
fdtc \ , fedtc
.fi^'diC ,
4ont il faudra calculer les valeurs par les méthodes approximatives. Appmdiçt^ ]Nao
■iu-: .
466 Ch. III. Appucation du Calcul intégral
La formule (B) doit être regardée comme un supplément à la formule (J) pour Tinter valle dans lequel x diffère peu de a.
On parviendra facilement aux valeurs de F, --— , - ^ , etc.
au moyen du développement
1 r— lj.=( x-^a )"+' { ^ + B^x-^d) + C(x— ^)* + D{x^ay + etc. } ,
pour lequel on a
en faisant après les différentiations jç^^sii : on en tirera immédiatement les puissances de v,
un. On voit mieux la nature et les avantages des formules (A) et (B) en les particularisant, c'est pourquoi nous prendrons ^ = ;c''( I — X )^ Nous aurons pour la première
ydx Jir(i — t)
<^y ~ p — kp-^i)^^
et pour exprimer que p ^t q sont de grands nombres , nous ferons /> = — , y = — , * étant une très-petite fraction ; il viendra alors
et et
ainsi v sera de Tordre «; et Ton voit évidemment que tous les termes de la série (A) seront ordonnés suivant les puissances de «• Cette série est donc très - convergente , lorsque le dénominateur de V a'est pas très^petit à Tune ou à Tautre des limites de l'intégrale ^ et pour cela il faut que 9 et V diffèrent beaucoup de •
En effet 9 Texposant du dénominateur de v croissant de Tunité à chaque différentiation , le terme multiplié par a"* aura un dénominateur élevé à la puissance ^m — i « Il suit de là que a doit être moindre que le quarré du dénominateur, pour que la convergence ait lieu , et que par conséquent la formule (A) peut ^ttt em*
ployée depuis * = o jusqi^'à x = •— — — J^, pourvu que «</V
A l Théorie des s u i t e si 467
On trouvera dans- cette hypothèse
« j8*+'( I — ( I + iB ) ^)'^'(l + i^ A fydx=z ______ ^
La même série peut servir aussi depuis jr= + J^ jusqu'à Ji;=i,
parce que la supposition de ^=3 1 , donnant ^ =0 et vszo » la valeur àtfydxy dans ce dernier cas ^ ne diffère de celle qui répond au premier que par le signe de /^ à cause qu'elle est prise en sens contraire j par le changement de signe qu'a subi dans l'expression de la limite ^ la quantité l : il suffira donc d'écrire dans la série précédente ^^^ au lieu de ^^ et de changer le signe du résultat finaU
II XX, La valeur x sr — ^ . qui rend nul le dénominateur de v :
faisant évanouir le coefficient différentiel -—^xéoonàdM maximum
dx
de j^ ( n% 149 ); on ne peut donc par ce qui précède obtenir
l'intégrale fydx dans le voisinage de ce maximum. Il faut alors
recourir à la formule (B) , dans laquelle a cepcésentera --t-- , et
Texposant m sera Punité^ en sorte qu'on aura
Vir^ïy'
Il est visible que les termes de cette %ént ne seront pas multiplias
respectivement par * , **, *% ctc, mais par « > « , «*, etc,^ • • • à cause du radical qui entre dans Tecpressioa de v. Les inté-
grales tdntives à /se nmèncnt toutes à f4ic , ou s'obtifaneot
|f nn %
4<58 Ch. III. Application du Calcul intécral
algébriquement : on a par la formule du n"". 1 1 lo
fedte c=— 1^ , ft^dtc '= — ±t€ +{fdte
fe^du = — jt^e — ^.e , etc.
SI Ton représente par <ret «T' les deux limites de /, on trouvera entre ces limites,
+ — ^ 1--}— + T-«<'' + ^-Tl(^'+0+etC.}
e J — — + — :rT^'+ — jCJ^'+o+etc [ j
il ne s'agît plus que d'obtenir Tintégrale/^r^
Ce résultat se simplifie beaucoup lorsqu'on prend «T et J^', de manière qu'ils répondent aux valeurs de x , qui rendent -y nulle j et
l'équation r= ri I''— Ij' montre qu'il faut faire pour cela J^= — inf, <r'=: + inf. Dans cette hypothèse les quantités
J^'e , <r"« , s'évanouissent (n^ 140) ; on ay2/r^ =i/^i et
En faisant m = i , dans le développement de 1 Y-^ly ^ itb' diqué n\ 11 10, on aura
^ i.idx^' i.x.'idx'' i.z.i.4dx^'^^
d'oii l'on tirera
y={-<^ + 5(«— a)+C(jc— tf)*+etc. } ^
= ^^*— 4^ "'"^^(Ar— /i) + etc.
On formeroit d'une manière analogue les puissances de y, que l'on difFérentieroit ensuite comme l'exige la formule , puis on feroit
X =^ a , supposition qui réduit v k ji \ et l'expression
d^Y dv* dy
d^.\y=^ ^, à ^.1>= , à cause que la valeur ;r=4f^
A. L À Th â 0 r I s des suites, 469
propre au maximum , fait évanouir dy. Il suit de là que dans lliy- . pothèse établie après les difFérentiations ,
i.xdx' xYdx* *
et que par conséquent V= ; en sorte qu'en n'ayant
dx' égard qu'au premier terme de la série, il vient
fydx= , ou (Jydxy^z -.
Dans l'exemple que nous avons choisi , oîi j^ = x'( i — x )\
on trouve a = ; et calculant d après cette dernière valeur
celles de Y et de -— - , on obtient , en conservant les dénomina-
V dx
tions adoptées plus haut ,
(i + is;
Si on poursuivoit le calcul ^ on trouveroit de même les autres termes de l'expression de fydx\ tous rentreroient dans ceux de la série qu'on obtiendroit en développant l'intégrale /y ^x^ en produit indéfini ( n"", 1071 )^ et en calculant ces produits par la méthode du n% 945.
1113. Si les limites de l'intégrale Tj^^at étoient quelconques î
l'intégrale fdtt ne seroit plus donnée immédiatement par la cir* conférence du cercle ^ et si l'exposant m du facteur jp— a, dans \Y — ly, surpassoit 2 , on auroit aussi de nouvelles intégrales à é valuer.
Pour calculer immédiatement la valeur à^ fdtt , lorsqu'elle ne doit pas être prise entre les deux limites infinies de / > Laplace donne deux séries que nous allons rapporter.
470 Ch. m. Application du Calcul intégral
1*. En développant Texponentielle c , suivant les puissances de r , et intégrant chaque terme depuis r=o , jusqu*à r=r, on obtient
fdtc =r H + ctc.
Tant que 7 ne sera pas très^grand , cette série sera convergente ; et elle tend toujours à le devenir par sa nature ( Int. n^. ii )•
1^. On peut donner à la différentielle dtc la forme — .xtJtt ^eten intégrant ensuite par parties relativement au
second facteur , on trouvera cette série
qui paroît convergente au moins dans ses premiers termes lorsque T est très -grandi mais qui pourtant finit par être divergente. Ce* pendant comme les termes qui la composent sont alternativement positifs et négatifs , sa partie convergente peut encore donner des
limites de la valeur de fdtc , depuis / infini , jusqu'à r= T ; ces limites seront resserrées le plus qu'il sera possible , lorsqu'on aura poussé la série jusqu'à la fin de la convergence » c'est-à-dire » jusqu'au point oii la différence de deux termes consécutifs est moindre quç dans le reste de la série.
Ce que nous avons dit précédemmentsur les intégrales définies de la forme fdxÇl -y, nous dispense de suivre Laplace dans les détails
oiiil entre relativement à l'intégrale //^i / e i lorsqu'elle doit
être prise depuis r = o , jusqu*à r infini. En efiet , cette intégrale a été
transformée dans le n\ tiio en — — /^îO-V^* s ««
fidsant e =^{f et celle«ci doit visiblement être prise entre les limites {=1 et {==0| quand la première l'est depuis /=7=o^
A LA Th é 0 R I E DES SUITES. 47I
jusqu'à / infini; les théorèmes des n""*. 11 04 et suiv. s'appliquent
donc alors à Tintégrale ffdtt ', et donnent des moyens d'en réduire les dzfferens cas aux transcendantes distinctes qu'elle contient.
II 14. Laplace indique ensuite ce qu'il faut faire pour appliquer sa méthode aux intégrales doubles et triples. Il montre d'abord comment on peut changer leurs limites variables en d'autre» qui soient déterminées. S'il s'agissoit y par exemple y d'évaluer la formule ffydxdx'y en intégrant en premier lieu depuis x'-=^X ^ jusqu'à x=zX\ on feroit ar'=-Sr+ u{X' — JX); on transformeroit ,
d'après cette hypothèse, l'expression /y]^^-^^^' ^^ ^^^ autre de la forme Jfy{X'^X) dxdu3,à\x ( n", 517 ) ,. dans laquelle l'intégration relative à u s'effectueroit depuis. if=o ^ jusqu'à i/=z:i.
Cela posé y nous regarderons dans ce qui va suivre l'intégrale ffydxdx\ comme ayant des limites constantes^ savoir:
^ = 9, A?=fty a/=9', x'=i/.
Représentant à Pordinaire par Y ce que devient y , lorsqu'on y
change x et x en fl et fl', on fera y=Ye , ou 1 T— \y = /+/'; substituant ensuite ô+;f et ô'+{^ à ^ et à x\ puis développant 1 r— 1 jr en série, par rapport aux puissances de ^ et de ^' ( n% }i ) ^ on mettra le résultat sous la forme
en rassemblant dans M tous les termes qui contiendront i seul ou {, combiné avec ^^ et dans M ceux qui ne contiendront que ^y oa fera séparément
La seconde équation fournira imn^diateoMnt par le retour des suites , «ne expression de :|f en /, à l'aide de laquelle on tirera de la première l'expression de ;[ en / et Z;^ il ne restera plus qu'à transformer le produit dxdx^^=^d[d{y au moyen des. différentielles dt^td^y et en supposant {=^/, {'=JVV, on aura ( n**, çi8 )
jJydxd^^s^Yf I ■ ■■'■ ■ «'dtdi •.«• .
