Ch, IIL Application du Calcul intégral
l'intégration des diflférens termes du second membre de cette équation
dépendra des formules fCdtr\ ft'^ddi ; si Ton commence par l'intégration relative à é^ et qu'entre les limites /=o et t infini , Ton ait
/d.Nr d.N't' , , ^
i^Q sera la valeur Atfydx\ depuis x'=i fl', jusqu'à la valeur de x', qui répond à f' infini. Remplaçant ensuite 0' par ^'^ dans j^ et dans Q^ que nous changerons en conséquence en Y' et Q', nous aurons Y'(^ pour la valeur àtfydx\ depuis ^'=/, jusqu'à là valeur de x' qui répond à l'infini, et nous conclurons de là que FQ — F'Q' est la valeur complète àt fydx\ ou que pour ohxtn]x ffydxdx', il ne reste plus<iu'à intégrer par rapport à ^ la fonction Y Q^dt^^Y (^d t. Faisant dXoxs f(^dt=R^f(^d e—R\ R et K étant prises depuis /=o, jusqu'à /= infini , on aura 17? — Y'R!^ pour la valeur At Jydxdx\ depuis *" = 9, jusqu'à la valeur de x qui répond à t infini. Enfin dans F, F, R et B!^ on changera 8 en /i* , et représentant les résultats par r, , r ', , /î, et K ^^ on obtiendra F /? — r/î'^ , pour la valeur àt ffydxdx\ depuis a:=/x, jusqu'à la valeur de x qui répond à t infini. Prenant la différence entre cette quantité et la précédente^ on trouvera qu'entre les limites x=- 9' et x=ii.\ Ar=9 et x=fi ,
ffydxdx'=YR—rR—Y^R^ + r^R\.
Cette formule est analogue à l'équation (J) du n*. 1109, et ne peut pas non plus servir aux environs du maximum dt y ^ pour en trouver une qui soit appropriée à ce cas > il fau( considérer si le maximum a lieu par rapport à l'unç des variables seulement , ou par rapport à toutes deux en même tems, c'est-à-dire , s'il ne fait
évanouir que l'un des coeflîciens différentiels 3^, -pi-, ou s'il les
dx ' dx*
ày
rend nuls tous deux ( n*. 1 54 ). Si l'on a voit seulement — = o •
on prendroit^ss:!'^ , tandis qu'il faudroit faire jcsFe
dy dy'
i\ rpn avoit en même tems -— = o . -f-r = o.
dx ^ d:ç'
Mijt
TI15. Sans s'arrêtera ces 'circonstances particulières, Laplace indique le moyen de parvenir à des formules qui donnent Tintégrale ffydxdxdx\ entre les limites de a;, de;i:' et de x"^ qui rendent j^ nul. Il part pour cela du maximum absolu de. la fonction y y quHI suppose correspondre à x=^a, x'=zLa! , ^jrszrtf", et qu*il désigne par Y\ il fait
et développant ensuite , suivant les puissances de {, i\ i\ le premier membre de Téquation
ir— lj^ = ^*+r'*+/'^, il lui donne la forme
Mt»+ iMY»+ MY^^ r*+ /'•+ r'%
en réunissant dans M tous les termes multipliés par i^ , et contenant i , 1% i\ dans M' ceux qui ne contiennent que {' et {", et enfin dans M' ceux qui ne contiennent que i' seuU II déduit de là les trois équations
Ml*=e% Ar(^=zt\ MY^^^t'^
qui résolues , en commençant par la dernière j au moyen du retour des suites, donnent
^=Nt, i'=N't\ C=NY,
N" étant une fonction de t" seul , if une fonction de / et t\ et en/în N une fonction de / , ^ et /". Cela fait , il transforme
dxdx'ix"— di d(di't en -^- ~ j^dtdt'dt', ilobtient
ffrydxdx'dx'=YjJj—^ -~. j^dtdidet
Il ne s'agit plus maintenant que d'évaluer les intégrales des termes du second membre , comprises dans la formule
Sfftt' é* dtdUft ;
les limites des variables / , V, r', étant Tinfini négatif et l'infini positif, on reconnohra comme dans le n*. iiii, que l'intégrale cidessus s'évanouit toutes les fois que l'un des nombres n , »', n\ Appendice. Ooo
474 Ch. III. Application du Calcul istégral
sera impair ; et dans le cas oii ces exposans seroient pairs ou de la forme li, li', li", on trouvera, au moyen dç Tintégration par parties , que la même expression se réduit à
