III II I
I + -. [--• 1 — • 1- etc. = «,
et l'on trouve avec cette valeur de * ,
^ =*— (U+-+ J-+ ^ + etc. }. -
Celte formule donnera facilement les diverses valeurs de Tintégrale , depuis a; = -, jusqu'à j? = .i; elle fait voir que la valeur de
— ■- — , prise depuis :r=i j\isqU*à a;=o ^ est infinie , car la série est de plus en plus convergente à mesure que n augmente et se réduit
à — 1- lorsque n est infinie.
Si l'on se servoit de la série (i) pour les valeurs négatives de or,
on seroit tenté de croire que la fonctiotl / est imaginaire
pour ces valeurs , ce qui pourtant ne saur oit être , ainsi qu'on peu^, s'en convaincre en suivant la marche de cette intégrale par les valeurs successives dç la fonction diiférentielle^ d'après la inétliQdedii> n*. 470 ; mais on parvient à un résukat réel , en changeant le signe
Ooo %
47^ Ch. IIT. Applicâtios du (Calcul istègral
de X avant l'intégratton , car on a
d'où l'on conclut
t *dx , X l X^ l x^
= \x + - + etc.
X étant pris avec le signe -f- , dans cette équation. LTiypothèse jc=o donne encore un résultat infini , et Ton peut fixer Torigine de Tintégrale à ar= i , mais il restera à savoir ce qu'elle devient quand x est infini ^ car il se^ peut que la difiërence entre la partie positive et la partie négative du second membre demeure finie , quoique chacune
depuis ^=1 jusqu'à x infini négativement , auroit une valeur finie.
Pour édaircir cette difficulté considérons l'expression / -^
qui répond à la série (i)^ transformée d'après la relation e*=:{; nous aurons
r^'î -ni.. '^. '(kr. ' (UT . ... , ,,
y-]^-ou+y+--^+--^-^+ctc.} co:
les valeurs a?=— i et x infini négativement correspondent à i=e^\ et à {=0 ^ limites dans lesquelles la série ci-dessus a des termes
infinis et un imaginaire. Si Ton intègre /-r-^ par parties re« lativement au facteur J^ ^ on obtiendra
d'où Pon conclura l'équation
dont le second membre a la propriété de s'évanook IcMiiqpic t^s^^ et se réduit à ^ , .
 LA ThÈO^RJEDES suites. 477
lorsque {=«""*. En ajoutant à la série (a) la constante E+\ — F, ou JF+lF+1 — I » et en observant que 1 — i+llî=l(^{),onaura
ll.=£+,f+,(,5)+li+!lllil:+lili>l+«c.}...(4), 1{ ^ i i.i.i 3 i.x,3 ^ ^^'^
puis faisant pour abréger £+ \F=iA ^ et comparant cette série avec ( 3 ) , en supposant dans lune et dans l'autre { = €^\ on formera Téquation
A 1 h etc.
de laquelle on tirera
en représentant par M la série divergente
dont la limite rapportée n% 1047, est 0,4036524077, et par JV la
série convergente
lit I
T . 1 — . r etc.
égale à 0,796599599297 ; on aura donc -^ = 0,577216. Les séries (3) et (^) étant égales pour une valeur de { doivent le demeurer toujours; ainsi la première s'évanouissant quand { = o , la seconde en doit faire autant. L'expression
donnera par conséquent la valeur de /- — , à partir de {=0 , pour toutes les valeurs négatives de i { ^ et la formule correspondante
celles de / à partir de % infini négativement,
. 1 1 17. En opérant immédiatefflent sur l'expression # , nous
fBom détttmîacr de nouyeatt la constante A^ et avec plus d'exac-^
478 Ch. III. Application du Calcul intâgral
titude que ci-dessus. Si 1 on intègre par parties la difterentielle
par rapport au facteur e'dx t on trouvera
'dx
/e'dx __«* re'di X *■ c/ «*
/e'dx e' e' fe'd
e'dx e' e' xe' , z.3e* =—\ — ;■+— 3- + T"
, x.-i.^....{n—\)e' Pt'dx
développant ensuite «' suivant les puissances de x , on aura
/e'dx ndx , « *» , x' . . X — -r— =/-^zr( I+-H + + etc.) .+. J »'+' ^ ^i 1.1^1.2.3 ^ '
»;t» (n— i)*"-' i(n — i)jr"-*
H V — ; — 'n-' 7^ 7 + etc.
i.3...(n+i) 1 2.3,, /(/z+i) 3 i»3«. •('2 + 3) en désignant par A^ la constante arbitraire et en observant de changer
dx '^•^dx
le terme — en , afin d'éviter les imaginaires pour le cas oh x
seroit négatif. La substitution de ce développement dans celui de / , obtenu plus haut , conduit à
^dx t' t' te' i.3 44....(« — i)e*
« + i"*"a(«+iXn+i)"^3(«+i)(n+i)(« + 3) + etC"-..(AO. Ce résultat renferme trois séries dont les deux premières sont finies •
A LA Théorie des suites.^ 479
le nombre de leurs termes dépend de /z, et si Ton prend n+i au lieu de /z , on aura en changeant la constante arbitraire A^ en -^^^, ,
XXX* *" x""^'
+ —— + -; ^7 r + -; TT^ -+etc....(A?+i).
Pour comparer ce résultat au précédent, il faut développer dans
Tun le terme J^[ , qui ne se trouve pas dans l'autre et qui
donne la série
