MM

nx"" [n — i)x^ ' X

j. I -I- "4^ etG

n+i z(n+iXB+a) 3(.i+iX?+*)(«+3)

elles se détruisent réçipro(|uemept , car les termes et H ,

devenant — - et + , sont égaux lorsqu'on suppose n infinie ;

il en est de même des termes ^ r- et — %-; r- , changés

la?" 2(/2+l)(/2+2)

(n — i)rf, ' v^ en r-— et -7 — ; — -7 r , etc. on aura donc

2/1* l(«+lX'*+^)

La

A LA Théorie DES suites.. '481

La valeur de la constante A ne dépend donc que de celle de la série

dont la somme, lorsque n est très-grand, est In+C ( n*. 939 ); C représentant le nombre 0,57711 ç66490i5325« Il suit de là qu'à la limite^ ou lorsque Jir = — n, on a

et qu*en prenant par conséquent cette limite pour Torigine de Kn« tégrale on aura A-=C^ ou .^^=0,57721 566490153 15 , résultat beaucoup plus exact que celui du n*. précéd..

Mascheroni, en poussant le calcul indiqué dans le n^ 939, jusqu'au centième terme de la série i + 7 + y + etc. a trpuvé

C ou -^=0,57721 5 664901 532860 618112 0900S2 39;

La relation qui existe entre A et M Ç n!*. précéd. ) , savoir ; '^ = L + «"*( Jlf — I ) , donnant M = e (A—'L)+ 1 , le conduit à

iW = 0,403652 637676 805925 7.

Cette valeur de là limite de la série divergente

I— I • 2 • + 1 • 2« 3—1 • 2, 3 . 4+ etc;

est beaucoup plus approchée que celle du n"". 1047 ^ que d'après Euler , nous avons crue vraie jusqu'au dernier chiffre.

Il faut observer que tout ce qui précède repose sur les séries

^r.+rr-r3+-7AT- + ctc.

k (kr cur ihy

2e 2.3« + — 7-+ \ — + etc.

qui sont divergentes et ne peuvent par conséquent donner immédia*

/dr rt*dx Y^ et de / , à moins qu'on ne

tienne compte du complément ( Int. n**. 5 ) , lorsqu'on s'arrête à un terme particulier \ c'est ce qu'on a fait pour la seconde , en déve-

— :j:7- ; mais quant à la première , on ne

Appendice. Ppp

48 z Ch. III. Application DU Calcul intégral

remployé jamais qu'en entier et comme un développement , suivant la remarque du n"". 4 de l'Introduction.

Il 18. La série (i') est visiblement celle qu'il faut employer lorsque [ est peu difFérent de l'unité y parce qu'alors l{ est une quantité fort petite ; elle devient encore convergente après un certain nombre de termes , même quand 1{ est assez grand ; mais la série ÇN') étant transformée comme on va le voir , est plus commode pour ce cas. Si l'on fait /z = -i-;c + r^ r désignant une petite fraction , soit positive , soit négative y on aura

1 — 07= If/z — r)== 1/ï— -

in* 3/1^ et l'on changera par ce moyen l'équation (N^ en

/■.^:^=4i+i+4+^ + *-dii-4îzii)|

III t r r*

— etc.

etc.