IX
résultat dans lequel il faudra remplacer la série — i-— - i..^i
par la somme obtenue dans le n*. 939. En mettant ensuite Iç, au lieu de :i: ^ il viendra
/■^-{iî^
n (ri — i)n {n — 2) (n — ï)n
etc.
— etc.
formule dans laquelle B^^B^^B^^ etc. représentent les nombres de Bernoulli , et dont tous les termes sont moindres que Tunité , à
Vexception de
, , qui est égal à ,
et <i.
A LA Théorie des suites. 483 ^
1119. Il nous resteroit à chercher une série qui donnât l'intégrale
/ — ^ , depuis î = o jusqu'à ç infini positif.
En s'appuyant sur la forme des séries (i) et (z), Euler pensoit que si cette intégrale étoit considérée comme réelle entre {=0 et ^= i , «lie devoit être regardée comme imaginaire entfe 1=1 et i infini,
ou vice yersd. Cette conséquence paroît d'abord difficile à admettre
parce qu'en suivant la marche du coefficient différentiel — , dont
les valeurs successives ferment celles de l'intégrale ( n*. 470 ), on voit qu'il demeure toujours réel , en passant à la vérité du négatif au positif par l'infini. Cette difficulté est une des objections que faisoit Bernoulli contre le système de Léibnitz , sur les logarithmes des nombres négatifs ( n% 494 ) ; mais le passage par l'infini , paroît rompre quelquefois le lien de la continuité , ainsi que je l'ai montré dans le n"*. cité ; et il en résulte que quoique l'on puisse avoir sépa-* • rément sous une forme réelle les deux parties de l'intégrale proposée , elles ne sauroient être représentées par une même expression , et qu'il est par conséquent impossible de déterminer la constante arbitraire , de manière qu'elle demeure la même dans toute l'étendue / de cette intégrale.
1 1 20. Nous allons présenter ici le germe de l'une des branches de Usage des înté*. l'Analyse , qui semble promettre la plus ample moisson de décou- po^urcxprimcr les vertes et de laquelle on doit le plus espérer pour le perfectionnement fonctions données du Calcul intégrai. Nous avoçs déjà fait observer plusieurs fois différentielles. (n***. 67c, 697, 965 ) f que le nombre des transcendantes distinctes pouvoit être très-grand , et quil existoit probablement des fonctions dont les coefficiens différentiels ne pouvoient s'exprimer par la variable indépendante seulement , ce quî rendoît impossible la séparation des variables dans les équations différentielles d'où dépendoient ces fonctions. Quand même on auroit l'analyse complète des transcendantes explicites , c'est-à-diré, exprimées par des intégrales à une seule variable, ou relatives aux quadratures , on ne sauroit encore rien sur la nature de celles qui sont implicites^ ou données seulement par des équations différentielles dans lesquelles les variables sont mêlées. La difficulté de > 1 ^
Ppp z .
484 Ch. m. Application du Calcul intégral
séparer les variables dans une équation difFérentielle tient sans doute quelquefois à la manière dont elles sont liées , même algébriquement ^ dans son intégrale. Si cette dernière étoit par rapport à l'une et à l'autre d'un degré supérieur ^ et qu'on ne sût pas la résoudre généralement ^ il ne seroit pas étonnant que ne pouvant parvenir à l'expression finie de la fonction par l'équation primitive , on ne pût pas noii plus obtenir une semblable expression de son coefficient différentiel ; mais outre ce cas y dans lequel le facteur propre à rendre l'équation différentielle intégrable ^ doit être susceptible d'une forme finie , on sent qu'il peut en exister d'autres dans lesquels la relation primitive entre la fonction et la variable indépendante, ne puisse être exprimée algébriquement. C'est pour ceux là , que l'on rencontre presque toujours lorsqu'on veut appliquer les Mathématiques à la Physique , qu'il faut se préparer des ressources particulières. Euler a encore donné dans ce genre une nouvelle preuve de la fécondité de son génie, en Indiquant le parti qu'on pouvoit tirer des intégrales définies : voici comme il présente la chose.
Soit y=jydx^ V étant une fonction de jc et de «, llnté* gration ne devant avoir lieu que par rapport à la première de ces variables, et se terminant à x^=^a\ de cette. manière j^ se néduit à une fonction de u seul ^ et %t% coefficiens différentiels $ont
dy d\
j- , -T-^ , etc. n est visible que la variable x , qui disparoît après
l'intégration , introduit dans l'expression àty une généralité , beaucoup plus grande que celle des formes employées jusqu'ici ; aussi est*il arrivé 5 comme nous le verrons bientôt, que des équations différentielles en j^ et « , dont on n'avoit pu obtenir l'intégrale sous une forme finie ont eu une solution de cette nature ^ la trans^ cendanu de la relation entre y tt u étant rejettée sur la nouvelle variable x. Euler n'est d'abord parvenu qu'à former l'équation différ rentielle par le moyen de Tintégrale ainsi qu'il suit. En différentiant complètement y^om,
/dV -3 — dx ( n% 551 ),
/dV - — dx étant prise entre les mêmes limites qwep^dx^
À LA Théorie des suites. 485
La fonction y resteroit encore indéterminée , si l'on ne fixoit pas en même tems l'origine de l'intégrale , et c'est ce qu'£uler fait en supposant qu'elle s'évanouisse lorsque Jt=zo. Maintenant si l'intégrale ff^dx devient nulle dans cette circonstance quel que soit d'ailleurs u^
dy
dy
îl en arrivera autant à -•-, puisqu'on a >'+i^j'==y+ — ^i;< = oj il
du du
/dV - — dx ^ depuis ^=0, jusqu'à x=za.
En poussant jusqu'au second ordre la différentiatipn soi^s le^igne^
îl en résultera j^=l . , ^^9 €t si l'on désigne par £ , M ttN^
des fonctions quelconques de u,ll viendra
d'Y dy" ' d^y dF
Lorsque l'intégration du second membre pourra s'effectuer^ et qu'après la substitution de x=:a ^ il donnera pour résultat une fonction de u , que nous représenterons par U^ la valeur y=LfVdx satisfera^ évidemment à l'éqHation
du du ' ^
On voit que la difficulté de la. méthode consiste à choisir la
d^y dV fonction V^ de manière que la fonction dx{L—+M-2 l-A^^}
soit întégrable relativement k x; et Euler observe qu'il faut exclure celles de la forme PQ» P étant une fonction de u seul et Q une fonction de x seul ; car elles conduiroxent à
du* du' ^
d'v dv d*P dP
résultats dans le^ueïsrintégrale/<^rfMt^ que comme un facteur
constant.
1 1 1 1 . Prenons , pour premier exemple ,
y:=PfQdx,
dv dp li
du du^ *
4%6 Ch. m. APPLICATION ru Calcul INTÉGRAL
0OUS aurons . "
du ^ ^
d'oh nous tirerons l'expression
■+ ipMit'+ipMua^ Lqu'il faudra rendre întégrable pat rapport à x. Euler prend
pour la fonction primkfvç dontirâcpresâon préçédefkte est dérivée i et en différentiant il obtient
