VârC«* +*'/'*C«*-^V
if développant et comparant de part et cPautre les termes affectés d'une
même puissance de a; ^ U troaye
xp(^p — i)Lu*+ipMu^+Nià^:=inc^u* xpL+ipMu+iNu^rsznc^ — nu^+i(p-^i}c*—i( f+i)u^ Ar= — /2 — i(p — i J^r- i (l+ 1 )^= — n — %p — 1 q.
Si , de la première de ces équations divisée par u*^ on retranche la seconde, il viendra
4P(P — O^ — Nu^:szCn+xq+x)u*—.i(p — i )c*; et mettant pour A^ sa valeur donnée par la dernière , on aura
tt^ + C»
d oh Ton déduira .
ipu p
L'intégrale définie ^ de laquelle nous sommes partis, s*évanouîra d'elle-même lorsque s = o, tant que /2>o; faisant donc x = a.
A LA Théorie des suites^ 487
réquation différentielle cherchée sera
xp du^ l %pu p jdu
^(n+xp+iq)y:=a^(a^+u^)^'(c^'^a^)'^'
et sera satlsfatie par réquation '
y z=:fx^'d 3è(u^+ x-y( c*— x^)\ '
l'intégrale indiquée étant prise c^puis a:=o jusqu'à x==tf.
En supposant auzzc^ ça qui fait évanouir (c^ — a*/, lorsque l'exposant q est positif, on a seulement
+ 1/^(^/2 + 2/^ + xq)uydu'^=:^Oj
rintégrale définie restant la même que ci-dessus , doit être prise depuis x=zo , >usqu'â x::=zc.
Si Ton fait
n+ xp — i = a, /ï+4^ + 1^— . i==i3,
on trouvera ^
2?=« + I — ^ 9 2j = j8 — i-fn-— !«;
réquation différentielle et l'expression de y se changeront en
(c^ + u^Judy — (ac* + fiu*)dy du+(ùL+î ^n)(fi'^tt + n)uy du^:=z o ;
La solution ci-dessus peut aussi convenir à l'équation
x'(a+bx") dy+x(c + ex"") dxdy+(f+gx'')ydx^= o ,
que nous avons traitée par les séries dans le n"". 644. En y mettant d'abord i pour y et faisant ensuite
l=x - (a + bx) ^^ y ^
on la transformera dans cette autre
x^Ca + tx^Jdy + xlxa-^c + xah+Cxh — c+xni+xbh)x'']dydx
+ (/+ ak^ch +ah* +(g+ (b—c+ nb+bhXn+k))x'' }ydx^=Oi
la quantité h restant arbitraire , on en disposera poiu: faire disparoître la première partie du coefficient du dernier tèïme, afin qu'il
488 Ch. III. Application DU Calcul intégral
devienne divisible par jf ; on tirera de cette condition
Z+tfA— cA+ tfA*=o, ou tfA^+Ctf— c ;*+/=: o(*).
Pour achever de rendre notre transformée identique avec Téquatioa à laquelle nous voulons la comparer , il faut y faire ar":=: a*. Euler n'a point poussé le calcul plus loin , parce qu'il traite la même équation par un autre moyen que nous ferons connoître plus bas.
II 12, Soit encore F-- ^'^x''(c'—xy\ on tire de là
dV d^y
du ^ "" ^ du^
et il faut rendre intégrable y par rapport à x ^ la fonction
Pour y parvenir on suppose qu'elle correspond à la fonction primitive e^'x'^'^'Cc — x)^^\ diflférentiant cette dernière, etcompa« rant le résultat avec la précédente , il vient
d'oh l'on conclut l'équation différentielle
{*) La transformation que nous indiquons ici se déduit de la deuxième du a^« 6aa« En comparant l'équation
à celle de cet article , on a
^ c + ex" f+e^
et si Ton veut prendre pour R une fonction telle que la transformée conserve U même forme que la proposée , il faudra supposer /? =3= ^"^^ • M et r étant
jc ( rj + ^ a;" j
dR indéterminés. Développant ensuite la fonction \'R^-\'PR^ qui aura pour
dénominateui- commun (tf + ^**)% on disposera de /x et de F de manière k réduire ce dénominateur à ^i+i^c". Ceci suffit pour indiquer la marche qu'il faut suivre dans ce calcul*
et
A LA Théorie des su/ tes. 489
tt la solution y=fe^'^x''dx(c — jc/, rintégrale étant prise depuis x'=-o jusqu'à x=ix. Lorsqu'on fait 171= i et c'=^a ^ on a seulement
y^f^x'^dxCa^xy^^
en supposant d'ailleurs />+i>0 et /2+i>oi P^^^ qucTint^ralc ne devienne pas infinie quand x^=^a et quand j7=o.
Si l'on suppose y = r ^ *, ou { = —— » on obtient cette transr formée du premier ordre
udi-hu[*dU'^auidu+(n+p+i)idu^^(n+i)adu:=zOi
à laquelle on sadsÊdt en prenant ^
f^x'"^*dx(a'^xy ^~ ft'^x^dxCa—xy •
Euler transforme cette expression de plusieurs manières , en faisant successivement
et il obtient
u'"''^'ds+u'^''''*^-^s^du — i a*/< ^«— K n—p)adu=o^ ds+s^de—'\a^u^'''^^^^de^^(n—p)ur^*^'de = oi enfin il obtient en dernier résultat l'équation
— a/i«— ap— 4 .-^a«— ap— 3 dq+q-dr^. ^^^y ^r=o;
qui se tire immédiatement de la transformée en { et tf ^ en y faisant
Il transforme aussi l'équation du second ordre entre y et u^ et parvient à un résultat remarquable par sa simplicité. Après avoir mis cette équation sous la forme ^
^y j . (^'^P'^'^)^y (n+i)aydu du "^ " u « , , *
Apptndicc. Qî^
490 Ch. 111. Application Dv Calcul intégral
il fait u=Mbt^ et parvient à
en prenant dt pour constante. Cette dernière équation revient à
hêx ' et est satisfaite par y=fc a^dx(a — x/.
Pour transformer celle-ci Euler prend
—/Pi/ Jy ^ , dr
ce qui lui donne
d tdz
^•{+ xPdtd[ — bqat'^^dtd{+(qn+^p+q+ 1) i'+ididP
et pour faire disparoître les termes multipliés par d^^ il fait
- La valeur de P > qui résulte de cette équation , le conduit à cdle-*cj
d\-ldi-[(^^^±^^^— dont la solution est
— f b^i^ ^/^îir
l=c t . /* ^dx(a^xy.
Ces formules se simplifient par la supposition de
p = n^ q\xn+ i)*— i=:o, ou y = î^ ,
et * = =fc-"=:dbi(i;2+i),
il vient alors
^•^fl*ç/2/2+i de^O'j ou ^•{ — aV^»:[rfr*==0,
1 — t' dz f db— — .i
OU î=« î /^/"«î * »l dx(a^x) «f \
 LA Théorie des suites. 491
II2J. La supposition At y^=^Jdx(a^ — Jt*/"'cos*tt^;c conduit aussi à une équation différentielle de la même forme que celle du n"". précédent , on en déduit
dV du
--^ = — {*^(^— i)«*-sin *«**+^V«'*"**cos*«»a?}(«!— **y-^,
du
et substituant dans l'expression fdx ( I 1- jtf -- — h -^^ ) * ^n a la
4tt* du
fonction
, f AT cos bu^'x — bqMn?''^x «n bu'^x—bq{q'^\)Lu'^x sin btâx V
à laquelle on assignera pour intégrale la fonction primitive (a* — x^/sinbu^'x ^ qui s'évanouit lorsque jv = o et lorsque :r=tf» La difFérentiatîon de cette dernière , et la comparaison du résultat avec la précédente , donneront
«"^' . (2^^~f+i)ir^*
Il faut observer que Téquation différentielle
d^v dv d^y dV
se réduit à ^
du^ -du
lorsque l'intégrale du second membre s^évanouît à la limite x'ss.a*^ ainsi l'on aura seulement dans l'exemple qui nous occupe ,
du*^ u du
et y=^fdx(^a^^^x^y^^ZQ/%bu^x.
Si l'on fait v — ^^^ et * = -, on tombe sur un cas particulier
très-remarquable , savoir :
Qqq \
49^ Ch, III. Application dv Calcul intégral
pour lequel on a y —fd x ( a»— x^ ) ^i cos^u^x^
rîntégrale étant prise de manière à s'évanouir lorsque Ar=o et j:==tf . On a montré dans le n^ 641 , que cette dernière équation différentielle répondoit à celle de Riccati ; on passe de Tune à Fautre en
fxdu
&h^ty=zc , d'où il résulte
d{ + Cdu + a^u^^^^du = o ,
i dy
y du~
u^-^fxdxCa^^x^) »^ sin— «^x
iWi
fdx(à^'^x') *^ COS— «^X
les intégrations relatives à x s'effectueront toutes les fois que
sera un nombre entier positif. En posant donc
xq
=1) on aura
9 et il viendra
di + i^du+a^u ^+» du=iO;
équation^ qui comprend là seconde classe des cas d'intégrabilîté que nous avons trouvés dans le n*. 5 50. L'équation du second ordre et sa solution sont
dy+a*u 2^*+» ydu^:=io;
1 1 14. Dans ce qui précède nous sommes partis de l'intégrale fVdx\ pour arriver à l'équation différentielle ^ mais cette méthode est indirecte, puisque c'est toujours l'équation qui est donnée, et qu'on cherche l'expression de la fonction qu'elle détermine. Euler > en conséquence , retourne son procédé ; il suppose que l'on ait le développement en série de la fonction cherchée ( n*'. 677 et suiv* ), et il tâche d'obtenir la limite de cette série au moyen d'intégrales définies en s'aidant des procédés indiqués dans les n"**. 1058 et suiv.
A LA Théorie des suites. 493
Pour faire connoître la marche d'Euler. nous commencerons avec lui par déterminer la somme de la -série
J+Bs+Cs^+. • • . +Ms^''+Ns'+ etc.
dans laquelle
in+k m+k 3/ï+A: m-^k
Il est visible que cette série rentre dans celle qui a été traitée^ n"". 1064, mais comme dans Téquation de cet article , nous n'avons point dégagé la somme de l'équation à laquelle nous sommes parvenus 9 nous reprendrons en entier ici les Calcub d'£ulér. Soit donc
l = A + Bs+ C/-f Ds^ • + Ms^'+ Ns^+ etc.
nous en tirerons de là •
as
multipliant cette équation par m , la précédente par A , et réunissant les produits ; nous aurons
msd
.^+Ap=A^+ {m+h)Bs+{im+h)Cs\ . . +((i— i)»i+ A)Afj*-i
ds
nous parviendrons semblablement à ^^+ki=U+{n+k)Bs-\'(in+k)Cs*. . . +((i— i)«+A)Mf*-'.
as
et en observant que
(n+A)i?=A^,(3Ui+it)C=(»i + h)B,».(m + k)N=((i—j)m + A)3f,etc.
nous aurons ^
as \
Mais d'après l'une des équations ci-dessus ^ la partie qui suit le
terme JL^, dans le second membre de celle-ci^ est égale à jf -2- — ^Hji nous pouvons donc former l'équatioti
ds ds
494 Ch. III. AppLiCÂ TiON DU Calcul intégral
7ds{k — Ai) kAds
OU * dT'\ -, — =z=— --=-,
^ s{n — ms) s{n — ms)
dont rintégration fera copnoître s.
dsCk — ks) kds (mk — nh)ds On a — ^ ^ = +^—7 ~-;
en mtégrant il vient s'^^n-^ms) ^'^ pour le facteur qui rend intégrable l'équation en { ( n"". 556 )y et au moyen duquel on arrive à
nh'^mk k k nh-^mk ' ^ ri ^ r---I
(/2 — ms) ""^ s^i—Jkfs'^ ds^n — ms) '"'» ,
d'oà Ton conclut
l=Jks ^{n-^m) '"" fs" ds{n — ms) «« ,
rintégrale étant prise de manière à donner i=ji , lorsque 5=:o,
Euler considère en particulier les cas où /7z=o , et /z=o , dans lesquels la valeur générale de { devient illusoire , et en remontant à l'équation différentielle ^ il trouve pour le premier
hs k hsk
Ak 1
{ = t^'s ^Jt «j'» dsl
et pour le second
n remarque encore que l'intégration indiquée s'efieetue toutes les fois que k est un multiple de n.
1 1 1 5 . Passons à la série
'-rf^'+-Bi?'tt+CCV+Z)Z)V +3filfV-»+A^iV'ft*+ctc.
en supposant que
A LA Théorie des suites. 495
Soit
y=AJ''\'BB'u+CC'u*+DD'i£^ +^MM!i^''+NN'î^+ etc.
et considérons la série
î=^+Jîi^:t+C«^'*»+jÔttV+£ttV+ etc. en y faisant ux:=s\ nous aurons alors par le n*". précédent
k mk-^nh k nh^^mk
Formons ensuite Téquation
FsizfPiilx=/PdxiA+Sux+Cu^x*+Du^x^+ etc.),
daiis laquelle nous regarderons la quantité» comme constante , et nous chercherons à déterminer la fonction P, de manière qu'en effectuant les intégrations relatives k x,Qn obtienne la- série proposée. Pour cela , il ihudra qii^entre lés limites assignées à la variable x , on ait
fPxdx=:—jPdx, fPx'dx:=S^JPdx , fPx^dx=^J Pdx , ttC.
car il en résultera
V= {JJ'+SB'u+CCu^+Diyu'+ etc. } ^fPdx^
^w. . A'y AfPidx .
^^" y=^7p77--fPdr'^
les intégrales indiquées étant prisés entre les limites convenables; Mais si Ton compare chacune des intégrales //^af^ar, fPx^dx^ etc. à celle qui la précède , on aiira oes relations :
fPxdx='--JPdx , fPx^dxt=z—;fPxdx, fP'x^'dx^—fPx^dx^tiC.
A Jo C
d'où Ton conclura
or , en observant que ces relations. ne-doi vent avoir lieu qu'aux limites des intégrales , on verra facilement" qu'on peut supposer en général
49^ Ch. III. Arpltcation vu Calcul intégral
pourvu que la fonction x^Q^ s'évanouisse à ces limites. DifFérentions cette équation et divisons ensuite ses deux membres par x^"^^ nous aurons 9 après avoir fait disparaître les dénominateurs ,
Cette dernière devant avoir lieu quel que soit i , se partage nécessairement en deux autres qui sont
n'Pxdx=m'Pdx^(ldx^ k'Pxdx = ( k'-^m' ) Pdx+xd Q^ et desquelles on tire
0^^ « , xdQ
n x——in K *"^( « —m j .g
divisant Tune des valeurs de Pdx par l'autre > il vient
xd Q k'x-^m'^h' d(l dx(k'x+m''-h')
'qTx nx^m' * *"* Q "" x(n'x^m') *
dO (h'—m')dxrm'k'^-m'n'—h'n')dx
ce qui donne -7r-= ; + 77-? rr—i
* Q mx m (n x — m )
Qr='«"» (n'x—m') «« Xconsti
faisant la constante égale à l'unité , et substituant la valeur de Q dans celle de Pdx , nous aurons
Pdxszx'^' dx(m'—n'x) "»'« Nous déduirons de là
(in'-^k')fP:^dx — ((i^x)m'Jt-U)JP^-'dx
niais comme la partie intégrée doit s'évanouir aux deux limites de
rintégrale , il faudra prendre cette intégrale depuis ;t=o, jusqu'à
j; = -r. On aura alors n
JrX'dxz:^ ~ — ^ fPx^^dx,
pourvu que
mn
et
j LA Théorie des suites. 497
et avec ces conditions , il vient
J'fPjdx J'fx"^' [dxÇm'—n'x) ^'^
fx" dxÇnJ—tix) ^^ en observant que
[r=Jks "(n — ms) ^'^ fs^ ds(n — ms) ^^ ;
cette dernière intégrale doit être prise de manière à donner i=ji lorsque {=0 , et il faut changer dans sa valeur s en ux j puis regarder u comme constant dans l'intégration relative à x.
Il est visible que l'on peut échanger dans les résultats ci -dessus^ les coefficiens A^ B ^ C ^ etc. avec les coefficiens A' y 5', C, etc. parce que ceux de la première suite sont de la même forme que ceux de la seconde ; il suit de là que l'on peut obtenir deux expressions de la somme y en y changeant m ^ n^ h , k^tn m\n\ k. A', et réciproquement.
Il est à remarquer que la fonction Q n*est introduite dans le calcul que pour donner les limites des intégrales fPdxy et que les conditions
m mn
n'étant pas remplies lorsque i»'=o , ou n'=o , il faut déterminer Q d'une manière spéciale pour chacun de ces cas. Les deux valeurs de Pdx se réduisent darts le premier à
nx
dO dx(kx^
on en tire -77- = ri
Q nx^
'^\ et <2 = «"'^a: «' :
on a dans le second cas
PJx "^^
dQ (k'x-\-m^h')dx Q "^ — m'x
k'dx h'^m' dx ^ --Zr — — '
Jfpmdicc,
Rrr
49^ Ch. III. Application du Calcul istègual
1 1 16. Nous allons appliquer ce qui précède à Téquation d'après laquelle on peut développer^ dans une série de la forme
^jt:*+5;t*'*"»+Cjt:*+*'+ZJjc*+3«+ etc.
« étant donné par l'équation du second 3egré
A((t — T^tf+€tc+/=o, ( n^ 644 )• Si Ton fait pour abréger *("«— i J*+flec+gr=A, on aura
n(na+(%<t — i ^4+^^
7î»i — ( lu'-'ï )nb — m — h ^ xn( %na+( xa — i ^a+c^
— (i — 1 yn''b—(xdL — \)(i — \)nh — ("/>— i^n e — h
Les facteurs dû dénominateur de ces expressions sont de la forme de ceux de la série du n^ précédent ^ et le numérateur étant une fonction du second degré se décompose en deux facteurs du premier > par la résolution de l'équation
(^i— OV^+^'ict- i)(i — i)/ï* + (; — i)/2e+A=o, qui donne
ce qu'on réduit à
en vertu de l'équation d'où dépend «t. Si pour abréger , on fait V(i — tf — 4*g^ = y, il viendra
<f oà il résultera
A LA Th é 0 r I s des suites. 499
Soit à présent a?'=«, et
^=JJ'+BB'u + CCu'' '+itfitfy-«+JVJW;
nous aurons dans cette forme
ina + ( 2*— i)a+ c
valeurs dont la comparaison avec celles du n**. précédent , nous montre qu'il faut y changer
m tti nb^ A en 7( let— i)^+ {c — {q^ '/i en — ;2^, À: en o, • m tn nb ^ h! tn ^{%tt — 0^+H + îî> n' en n a , A' en ( 2 A — i ) tf + ^^
Nous chercherons d'après ces dernières dénominations l'expression de {; 9 et pour éviter toute ambigi^té ^ nous y écrirons / au lieu de X ; nous aurons j = «^/=::c"r, et
Nous conserverons dans l'expression de y les lettres m\ n!^ h' et A', mais nous changerons u en x", et faisant attention que >" est divisé par x% nous obtiendrons
