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J'x*ftm' [dt{ m'—n't )
y ~~ V Jt'm'— A''-'
ma
les intégrales étant nulles lorsque /=o , et terminées à /=-y=- ;
n en observant d'ailleurs les conditions
h' Vm'—Vn'
i+ — — i>0, -TT— + i>0,
m mn
(la— i)i+^+f
dont la première se réduit à . ■ , • — > o t
Rrr 2
joo Cn.lXl. Application DV Calcul INTÉGRAL
à cause que la plus petite valeur de i est l'unité, et la seconde
devient
xnab Il est facile de voir aussi que Fintégrale définie
ft^ dt^ffi — n't) '"'*' peut être remplacée par une constante arbitraire , et que Ton aura enfin
Le coefficient A , qui entre dans la valeur de [ , étant arbitraire ; la dernière expression de y est une intégrale complète puisqu'elle renferme les deux constantes -^ et C *•
La possibilité d'échanger entr'elles les quantités n et n\ k et K^ en prenant
na pour /z, — nb pour n\ (la— i)tf+c pour ^, et o pour Jt% conduit à une seconde solution , dans laquelle on a
la fonction { devant être égale à A lorsque 5=0 ^ et
yz=zCx^ft^ [dtim-^n't) rintégrale relative à / devant s'évanouir lorsque ^ = 0, et lorsque ^ = -T- Les conditions de cette expression sont — r > o» n m
et I 7- > o , à cause que k =0. La relation entre î et 5 , dé^
Hvrée du signe d'intégration, est
ds s[n — ms)
1117. Ewler donne encore deux solutions de Téquation différentielle proposée; il les tire de la série descendante
y = ««(^+2?;^— + C*-»"+Z?*-»*+ etc. )
A LA Théorie des suites. 501
pour laquelle a est déterminé par l'équation
€t («t— • I ) b+tte+gzzz o.
Faisant « ( * — \)a + ac +fzz=zh^ il trouve
n(jib — (2* — 1).'^ — c) *
1/2(2/2^ (2flt 1)^—^)
— (i— i)*/2*^ + (i*— i)(i— I )na + (i'^i)nc—h ,^ L'expression de N se décompose ainsi :
en posant V^(tf — ^c)* — /^af=p. Par cette "opération le développement de y peut êtrS mis sous la forme
^^AA+BB'u^ CCu^ • +i»fiMV-* + A^JVV+ etc.
en y changeant at"" en « , et prenant
JV= — ^ : — iW,
^^ (i— l);;^— l(a^— l)tf^lc + l;, ^^^^
//2^ — (iflt I ) A— •«
comparant ces valeurs avec celles du n^. 1 115 ^ nous verrons que les lettres m y h , nttk doivent être remplacées par
na^ — k(iàL — i)a — ^c — ^/>, — na tio^ et les lettres m'. A', n' et k\ par
En faisant j = «/ = ^*""/, nous aurons
