TT
m rii
y = Cx''ft'^ ldt{m'^n'e)
50Z Ch. ill. Application du Calcul intégral
lès limites de l'intégrale relative à t étant déterminées par la condition qu'à l'une et à l'autre , on ait
Si l'on permute entr'elles le^ lettres analogues , en prenant
nb pour /z, — na pour n'
— ( 2 «t — i ) h — t pour A , et o pour h! y l'expression de { se déduira de Téquation différentielle
ds si^n^^ms)
et l'on aura
y—Cx^ft^' [dtlm'—n't) ""'"^ , ,
en observant qu'aux deux limites de l'intégrale relative à /^
1 1 18. Eclaircissons ce qui précède en l'appliquant à Téquation particulière
x\i—x^)dy^xXl+x^)dxd'yJ^xydx^z=iO-y .
en la comparant avec celle du n''. 1116, nous aurons
tf=I, ^=—1, C=— I, «=— I, /=0, g=I, 71=1,
a(flt — i) — A = o, d'où ct = 0, «=1 et ^=±1.
Avec ces données , et en ayant égard aux deux valeurs dont « est susceptible, nous obtiendrons par les formules du h\ cité, les quatre résultats suivans
l = {i + x^tf"\ ^ y=C/r'^'"V<i+0^^""-.-(i) î = (i+xV)~''^\ y^Cx^f^^dc^iJ^tf"^' (1)
Ts^ — 17{^T) ' ^^^^' î^^Ci +0 (3)
i^ '^t:^7) — yy^<^»V^ idt{i+t) ^ ....(4).
A LA Théorie jdes suites. 503
Les valeurs de <t relatives à la série descendante du n^ 1 1 17 , étant + 1 et — i , conduisent de même à ces quatre autres résultats :
Pour répandre sur le sujet qui nous occupe toute la clarté qu'on y peut désirer , il nouç reste à montrer comment les valeurs de y satisfont à Téquation proposée. La chose est très-facile à Tégard de celles qui sont comprises dans la formule
en prenant le signe inférieur , par exemple , il vient d[ xt ^y ^rf ^^^^
A^ ^ ^— c C—Jii—^ -
d'où il résulte •
et l'intégrale du second membre étant
i.Cx*\/T V^(i +0(1 +*•/)*
$04 Ch. III. Application du Calcul iN^icRAL
s*évanouit lorsque /=o , et lorsque t est infini : c'est donc entre ces limites que doit être prise celle qui exprime la valeur dey.
Venons à Tune des formules oh { n'est donné que par une équation différentielle ; prenons la quatrième : en n'ayant égard qu^au signe supérieur ^ nous aurons à traiter l'équation
;( ^5 (14-35) Ads
^'^ 15(1+5) ^ s{i+sy
En la multipliant par 5 k 1 + 5 , et l'intégrant , nous en tirerons
5îV/T+7=2^/7+7+J?, [ = —+ — : ;
' sVi+s
et en observant qu'on doit avoir {=^) lorsque 5=109 nous trouverons -S = — i^^, d'où
xJ(\/i+5—i) xA xA
sVx^i '** txW x-irtx"
dx '~ tx^ k
Substituant ces valeurs dans les suivantes
J Vt(i+t
et les résultats dans l'équation proposée , nous obtiendrons
d*v dv
dx* ' 'dx
A LA Théorie des suites.
U second membre de celle-ci a pour intégrale l'expression
jLACx*ViJr t
(ï + tx'f^/lt
(i+tx)
qui devient nulle lorsque r = — i , et lorsque r = o ( ^ ) ; c'est donc entre ces limites qu'il faut prendre l'intégrale qui exprime >^. En y remplaçant i par sa valeur , elle prendra la forme
Si l'on écrit — r, au lieu de /, on aura
jet l'intégrale devra s'évanouir lorsque r=o et lorsque r=T.
1129. Laplace a montré le premier que la sommation des séries par les intégrales définies , conduisoit aussi à l'intégrale de l'équation différentielle partielle
dans quelques-uns des cas où elle échappe à la méthode du n"". yyi : c'est ce que nous allons faire voir ^ en suivant à peu de chose près la marche qu'il a tenue.
Il est visible que la série
' +5,4r^;+<7,4r^;+2?.4Y^;+etc.
prise dans le n"*. 771 pour la valeur de {, peut être remplacée par
celle-ci :
Afâu^(tt)-\-Rfittfdu9(u)4'CfdttfdufdHf(u)-^ etc. + AJd v^v) + B,fd yfd v-^v) + C, fdvfdvfdv\(v) + etc.
(*) Pour s'en convaincre dans \t dernier cas , il suffi t de développer — — ,
suivrait les puissances i.%u
Appwiiu^ S s s
5o6 Ch. III. Application du Calcul intégral
En réduisant les intégrales doubles , triples , etc. en intégrales simples au moyen des formules du n*. 487 , on changera la première partie en
{u^fdu ^(u)'^iufu d u ^(u)^fu^dm(u) }
{u^fdu ^(u)^iu^fu d u f(u) + iu/u^d u p(u)^fuUu9(u)}
