x. 3 etc
maintenant afin de distinguer les facteurs oii la variable u se trouve hors du signe intégral de ceux oîi elle en e9t a6Fectée , on écrira dans les derniers r à la place de 1/ ; on pourra après cela passer les autres sous le signe/, en observant de les regarder alors comme constans , et on aura par ce moyen
B(u^i) C(u—ty D(u^ty
=fdtT(u-i)^(0 ,
T(u — t) désignant la somme de la série renfermée entre les accolades 9 et les intégrales étant prises depuis t=o jusqu'à t^su. On trouvera de même que la seconde partie de la série I>roposée revient à
en observant que les limites de llntégralq sont ici /=ro et /=rv; on aura donc
l=^fdtT(u^t)p(t) + fdtT,(v^i)^(t).
Pour déterminer les fonctions T(u-^t) et T^Cvr^t), il faut connoître d'abord les relations que les coeffidens^^ B y Cj etc. J^yB^^C^y etc. ont entr'eux-et qui s'obtiennent en substituant dans l'équation proposée ^ au lieu de [ la série
^fduf(u)+Bfdufduf(u)+Cfdufdufdu9(u) + etc.
+jiJ^v^(v)+BJdyfdv4'Cv) + CJdy/dvfdv^(y)+ tic.
^ tA Théorie des s tri te s. 507 on aura relativement à la fonction p , les mirantes
dB
„« ^-^ ^dA ^dA ,. , j •\-PBJr---JrP-r+(^-r+MA==o dv dudv du dv
dC d^B dB dB
dv dudv du dv
etc.
oa en trouveroit de semblables entre JI,,B,^ C. , etc. Si Ton pou voit tirer de ces équations les valeurs des coefficiens , la question seroit ramenée à sommer les séries
^ ^ ^ — I ■ «■ ■ — I ■ .-j- etc.
BXv'—t) CXy—ty DXv-'ty
A,+-^ ^Jr— -^— — -^+ etc.
Appliquons ces idées générales à différens cas particuliers afin de faire mieui conooitre le parti <}i^on en peut tirer ; soit Téquation
d^r dr dx
Ws
dans laquelle Pi^^^ désignent des constantes. En traitant cette équation par la méthode du t!". 771 9 on retrouve à chaque transformation la condition /F ^ — /r:=o , et il est par conséquent impossible d'obtenir par ce moyen Tint^tale de la proposée sous une forme finie lorsque cette condition n'est pas remplie ; mais les équations
dA ^
dB ^ d^A dA dA
dC ' d^B dB dB
LpÇ,!, ■• ,. Aip lia h/»^=o
dv ^^ ^ dudv^^ du ^^ dv ^ etc.
qu^oh obtient par la méthode précédente conduisent facilement à une série. En eflfet , la première donne par rimégration, A^=ir^U ^ « étant
$ss 1
jo8 Ch. III. Application du Calcul intIgrai
une fonction arbitraire de « ; et en la différentiant par rapport à » ,
on en tire
d*A dA
dvdu du
ce qui réduit la suivante à
âB dA
Pour satisfaire à celle-ci on fera B:=r^^li , jS étant une fonction inconnue de v et de u. La substitution des valeurs de B et de ^^ donnera après des réductions évidentes
diè
en se bornant à satisfaire à cette équation , on aura seulement
lè — (pq — m)àLP^
et Ton déduira de là
dB
- — = ''^ e''^''Ap ( p q-^ m ) y+c'^^A ( p q-^ m )
dv
dB
^-- — \'mB:=^'-'r^''Av( pq — 'n)*+x'^''Aq(pq — m) dv
^B „ . , ^ d^B ^ dB , , dtt.
— +pB=r^^.(pq-m), j-^p—^r^(pq^n.)-
valeurs qui changeront l'équation d'oh dépend C^ en
dC /dA \
; ^+pC+e ^{(pq—m)[^+Aq^^(pq—m)^Av}^0.
Faisons d'abord C=e'''*'> ; Téquation précédente deviendra divisible par «"''% et nous aurons
il ne faudra plus , pour ramener cette équation à la forme des autres ,
dA , t
qne supposer - — h«ys=:o, ce qui déterminera la fonction arbîr traire « , en donnant * = e"^", puis il viendra
dy
—^^(pq^m)*AV=zo^ d'où
A LA Tu ÈORIEjyES S V. I T M S»
L'équation Z> étant
dD
+pD+
dC dC
se réduiroit au moyen des valeurs de C y de «, et en supposant D — t-f'S^, à
dS- (ptj^m)^v^ dv . x.x
l'on aurolt par conséquent
D^e-'-J-^lZH^
Il suit des Calculs ci-dessus ; qu'ôâ fcmployeroit aussi à la (recherché des coçfficiens ^^ B ^ Ç^ etc. que . . :
{pq^m)v
{pi—^)u*
C^,-^JP9-"nyv^
et
2j=^-pir«»
etc.
(pf^myu^
etc.
et que les séries qu'il faut sommer sont .
rr=e-''r-w{i+— i -+ ^ ^+ ^^ ^+etc.}
T,=e-^^{î+— ^ ^+. — ^ ^+ î^ ^+etc.} ;
lorsqu'on fait pq — m -=01.
Si nous désignons cette somme par y ^ y sera une fonction de
r (« — r) , pour la première sérije , et de «(v— r) , pour la seconde^
mais de la même forme dans Tun et Tautre cas , et la fonction r^'^'^^y
sera une valeur particulière de [. En faisant pour abr^err(tf — /)=^f
nous aurons
du
dy d9 * ^^ didu
dz ^ dy dO
dv ^ ^V ^^-'"'
dUv
510 Ch. III. Application du Calcul intégral
mais comme -— = v, — - = « — /,il viendra
du dv
La substitution de ces valeurs dans Téquatioo proposée la changera en
les deux constantes qui entrent danis la: valeur complète de ^ se déterminent p^ir la condition que j^i=i et. -yz^ps — «»> lorsque Bsso^
dv
condition qui résulte de deux premiers termes de la série dont y est la somme. La somme de la seconde série se tirera de l'expression à^y 9 en y supposant 9=tt(v — /), et prenant y-, pour représenter ^ ^ dans ce nourd état , U valeur complète de i sera
la première intégrale étant prise depuis i=o jusqu'à r=iff ^ et la se* conde depuis t=o jusqu'à e^s^v.
Si Ton vouloit s'assurer que ce résultat sattsfirit à Téquation pro* posée , il faudroit observer qu^en général lorsqu'une intq^le Td t doit être prise depuis e=o jusqu'à t=u , t doit être coftsidéré comaiç une fonction implicite de x^ ^ et que Ton doit avoir par conséquent
d{fTdt) d.fTdt d.fTdt dt
du du dt * du^
or
^rdT
J du
lorsque r= i ; ainsi en représentant par £^ ce que devient alors T^ on auroit
d{fTdt\ fij
mmmt
au J du
dt^U,
 LÀ Tn  O Rï S DES SririTES^- 51I
IT30. Laplace applique encore » méthode à réquation
dont nous nous sommes occupés dans le n"". 774 , on satisfait aux équations qui déterminent les coefficiens j4 ^ B ^C^ etc. en supposant
B =aJ{u+vy\ B,= rf.^,(« + v)-',
<:=^5(«+v)-;, c,= ii,BXu+vy\
etc. . etc.
et, fi , etc. a, 9 iS, y etc. étant des constantes telles que
etc. .y etc. ..
Les termes généraux de ces suites seront
et Ton aura
T = («+v)-^tr+— . +-^— r^J +etc. }
T,= (u+vr{t + ^^+^Ç^)\ etc. }.
On fera T=(«+v)'''>, en coaridétant j^ comme uae fonction dç la
quantité — ^ que Toii repitâiéiitera par f, et Ton- obtiehdhi
réquation en y ^ comme dans le n"". précédent 9 par la substitution des fonctions
^ dT dT d^T , ^l dz d^r
^ du dv dudv ^ du' dv dudv '
qui donnera
ni — 0)^+{Hq—p-r)+i]^+{pq'-p-'m)y=o....{b).
Pour former T, , il suffira de changer dans cette équation /^ en y , 1 tap etytti y^i Ton aura Ti=^C«+^^'"!yi » ^^^ constantes des
511 Ch. III. AppLîCATiair DU Caijcvl isràcRAL
expressions de y et dej^. se détermineront , comme précédemment l par le moyen des deux premiers termes des séries T et T, : enfin on obtiendra
L'une des fonctions j^ et j^, peut aussi se déduire immédiatement de Tautre ; car l'équation (b) , transformée d'après ce qui a été dit plus haut , se change en
et redevient (b) lorsqu'on fait y^^i — 9/""'j^. La détenmnation des constantes arbitraires de j^ ne change point cette relation , car lorsque 0=0 , on doit avoir
et les deyx dernières de ces valeurs résultent aussi de l'équation j^,=( I — ^fl )'~^y , quand on la cembine avec les preoûères. Main*
tenant puisque ( i — *)'"*=r ( i— r) ^ on aura
1131. n est bon de remarquer qûé l'on peut changer les Kmt tet ^des intégrales. Si à >, l'od substitoe'»V d^ahs la premiièn et vt dans la ^seconde, et que Toii désigne par y tty". ce que devient alors y ^ on aura
les intégrales devant être prises toutes deux entre les linûtes /=a=o et r=i.
Si l'on représente par K et K, les valeurs des intégrales yy^/f(/)
^^fyi^^4{f) 9 prises depuis r=o jusqu'à / infini , les quantités
K^fydipii) et K,-fy,dt4{e)y
seront les valeurs des mêmes intégrales , à partir de e infini ; mettant au lieu de r^ dans la première , u+t' et dans la seconde^ v+/^*
désignant
A LA Théorie des suites. 513
désignant par V et par F, , Ce que deviennent y et j^. , on aura
fydtp{t)^fy,dt'^{e)
Les limites des intégrales du second membre seront visiblement t' infini et e'= o , lorsque celles du premier seront r = o et / = « , e^=o et r=v; puis comprenant la quantité constante X+ K^ dans les fonctions arbitraires , et changeant le signe des intégrales , on pourra y à une expression de la forme
l—fydi^{t) +fyrdt^{t) ,
dans laquelle les intégrales sont prises , Tune entre t=^o et t=^u i et l'autre entre /=o et r=y , substituer celle-ci
,dont les intégrales seront prises depuis / infini jusqu'à /:=:0.
113 2. Ce qui précède renferme la substance de ce que contient le Mémqlre de Laplace^ relativement à l'intégration des équations différentielles partielles par des înt^rales définies , et se lie parfaitement avec les travaux d'Enter sur les équations différentielles à deux variables , sur- tout lorsqu'on rapproche les n*\ 768 et 1 115. En faisant dépendre de l'équation {b) la sommation des séries T et T. ^ et réduisant par-là l'intégration à% l'équation différentielle partielle {a) , à celle d'une équation différentielle à deux variables ^ Laplace a réellement ramené l'intégrale de la première à ne dépendre uniquement que des intégrales définies , toutes les fois que la seconde sera susceptible d'être traitée par la méthode d'Euler , ou que les séries T et T, seront analogues à celle du n"". 1115.
La méthode par laquelle Parseval somme la suite ^^'+55'+CC'+ etc. ( ti\ 1067 ), • conduit aussi à un résultat semblable ; car il est visible que la série
I + 1 1 + etc.
à laquelle nous sommes parvenus dans le n**. 1 129 » étant mise sous la forme
