CHAPITRE XVI. 21 cot = 21 (cot ® —tang P)+ + c° (cot P + tang

dont le calcul est assez facile, pourvu qu’on connaisse à la fois cot @ et tang ®; il faudra par la même raison déduire tang @° de cot @", et on calculera semblablement l'angle @°®° par la formule

cot @" = (cot ° — tang @°) +3 c°° (cot g° + tang g°).

On continuera aïnsi jusqu’à ce qu’on parvienne au terme g® de même rang que ec), et dans chacun de ces calculs, on aura soin. de noter, comme il a été dit art. 838, la valeur approchée de l'arc dont on a calculé la co- ‘tangente. Connaïssant donc le nombre total de degrés contenus dans le dernier terme @{%, la valeur exacte de cet arc pourra être déduite de sa tangente connue avec toute la précision nécessaire. Réduisant ensuite cet

‘ = (») arc en parties du rayon, et faisant ® = <> , on aura Fp=K©.

U reste à calculer E@, ce qu’on fera par l’équation Eg — LF® +-Pc sin ?, dans laquelle on a

Le À ce c'c°c

co 2 y à yum NE — elc.,

c cc° ce P =? cos & + % cos & cosa° + PE c08 & cos &° cos &°° + ele. ;

d’ailleurs les angles w, w°, w°®, etc., se déduisent des angles @, @°,9",etc., par les formules tany © — btang@, tang &° = b° tang @°, tangu* = F° tang g”, etc.; et comme on connaît lang @, tang g°, etc., on aura immédiatement C COS mpeg C° COS = 7 — etc.

VG + &* tang'@)? V(1 +8 tang® 9°)?

Cette méthode, que nous employons ordinairement depuis c = 0 jusqu’à sin 45°, peut être étendue beaucoup plus loin, jusqu’à c = sin 81°, parce que dans cette dernière limite les séries n’ont qu’un terme de plus que pour la limite c = sin 45°. Mais depuis c = sin 81°, jusqu'à ce 1, la seconde méthode mérite la préférence, à raison du moindre nombre de termes dont les séries sont composées, et le calcul devra être fait comme il suit.

843. On formera d’abord la série des modules croïissans €, c’, €”, … et celle de leurs complémens 6, 8’, b".... par les mêmes formules que dans

Vart. 841, ayant soin seulement d'échanger entr’elles les lettres et €, T. IL. 28

ainsi que les signes * et ‘. La suite b, L', B"... étant donc prolongée jusqu'à un terme #® dont le quarré soit négligeable, relativement au degré d’approximation qu’on a en vuc, on aura en logarithmes hyperboliques

F'e = 5 log er ou en logarithmes vulgaires , F'e — log 5 d’ailleurs le coefficient K a pour valeur

on calculera en même temps la fonction E'c par les formules Etc = L'F'o +2

b* b' L' == + (: + ps +

Dans cette méthode , il reste à calculer le logarithme de 5 avec le

b'b" b'b"b" Z + —g-"+etc. )

degré de précision requis.

Si ensuite il s’agit de calculer les fonctions F@, E?, qui répondent à une amplitude donnée , on suivra les formules ordinaires, lesquelles ne sont guère susceptibles d’être simplifiées, si ce n’est la formule principale qu'il convient de mettre sous la forme

cot g = Lie À cot ® + VAL = 2)'cots ® + & |;

elle servira à déduire cot &’ de cot ®; on déduira de même cot g" de cot ?’, et ainsi de suite.

844. En terminant ces recherches , nous croyons devoir faire observer que par la simple méthode de bissection qui n’exige que des extractions de racine quarrée, on peut calculer jusqu’à tel nombre de décimales qu’on voudra , les-fonctions F et E correspondantes à des valeurs données du module et de l'amplitude.

Remarqaons "d’abord que pour la ibissection des simples ares de cercle, on a les: formules

sin;p=x y(i1+sinp)—+y(1 — sing), cos P— 3 (1 + sin @) + 5 (1 — sin @); ainsi le sinus et le cosinus de l’arc £ @ se déduisent à la fois de la valeur

donnée de sin @. Partant donc d’un sinus connu tel que sin 45°, sin 30°, ou,en général sin æ, on peut, par des bissections continuelles , parvenir