D SE RÉ

VG—x") EU=RPIT "et la transformée en y devra être intégrée depuis y =1 jusqu’à JS. En changeant son signe, elle devra être intégrée depuis y = 0 jusqu'à =1 ; et comme alors on peut mettre æ à la place de y, on aura

fe de VU x)" ne va 72 ou suivant notre notalion , P\—/f7 (2) Ee. (2) ’ (a)

ce qui est la propriété énoncée,

2. Il faut faire voir maintenant que si dans la formule (E), lun des deux

nombres p et g est plus grand que 7, la formule se ramène aisément au cas où p et g sont compris l’un et l’autre dans les limites 1 et #7. Pour

CHAPITRE I. 367 cela soit Z=x'(1— 2x"), on aura la différentielle d2 = ka dx (1 — a") (krn)atte dx (1 — 2x"), d’où l'on tire en intégrant, Z=Ef x "dx (1—x)— — (k+ rn) fat" dx (1 —x*)", Donc, si on prend les intégrales entre les limites x=0, æ=1,et qu'en

même temps on suppose > 0, etr>o, afin que Z s’évanouisse dans les deux limites, on aura

Sa "ax (na) — er À — ——— fa "dx (1— 2)";

d’où il suit qu’en faisant k+n=p et r=, il viendra

P\— PR. (PTE Ce ( q ) (b).

Au moyen de cette formule, toute fonction ( = » dans laquelle on a p>n,

—), (+), etc., jusqu’à un terme = =) ou F), dans lequel p’ sera le reste de la division de p

par n.

Arrivé à ce terme, si de son côté g est plus grand que #7, la fonction

(E) qui est la même que ( 4); se réduira successivement aux fonctions

| (= — ”, (— 77), etc., jusqu’à un terme (5) ou (E) : du lequel 7

sera le reste rs la division de g par n.

se réduira successivement aux fonctions (

De là on voit qu’on peut toujours supposer la fonction (£ ) réduite à une forme où p et g soient compris tous deux dans la suite 1,2, 3....n.

3. Cela posé, 1 y a deux cas principaux où on peut trouver immédiatement la valeur de (E ); c’est lorsque x est Eu Fun des deux nombres pet qg, ou lorsqu'il est égal à leur somme.

Soit, 1°. g=—=n, on aura immédiatement (E)= perdre +0, in-

tégrale qui, étant prise depuis x=—0 jusqu'à = 1, se réduit à . d’où

résulte =; o

368 INTÉGRALES EULÉRIENNES, Soit, 2°., p+q=n, ou Pa, {q=N— Aa ,0n aura re dr (— PONT

faisant 1—2x"=2"z", on aura la transformée rationnelle

Eu f.

intégrale qui doit être prise depuis z=0 jusqu’à 3= ©; or, par les formules

connues (Eul., Cale. intég., t. 1, p.252), cette intégrale Donc si

nSin— , + on fait =—=%, On aura e

a é =) — sin as' (d) Excepté ces deux cas généraux, toutes les quantilés désignées par (2)

sont des transcendantes plus ou mois composées, selon la valeur de #, et ne sont point susceptibles d’une évaluation exacte. Maïs, pour chaque valeur de r, on peut exprimer toutes ces transcendantes au moyen d’un petit nombre d’entre elles, et c’est l’objet des recherches suivantes.

4. Observons d’abord qu’en mettant p+ n à la place de p, l'équation (b) donne P\=r2ta,(ptn (£) it 2 ( g )

On aurait semblablement

(Er) ettte +2")

(ES = Je es Cp+an g etc.

Donc, en général , à étant un nombre entier positif à volonté, on aura (E)=2<z. ptgtn ptgtan. p+at æ, (et£ ii. +2; p+n p+an ‘°°° Su :

mettant p + r au lieu de p, on aura semblablement

(= —P+gtr ptatrhn ptgtrtan nca (EE 2) q p+r p+rtn ‘ Op+rtan ‘‘° p+rrpin

Divisons ces deux formules l’une par l’autre, et faisons, pour abréger,