CHAPITRE L

P.(p+g+r) M’ Es (p+g+n) (p+r+n) œp+n)(p+g+r+n) m"— (@tgtan) (p+r+an) (p+an) (p+g+r+an)"

nous aurons sa | — G) —=M°M' M"... MO ), (=) (+: +1. s)

Supposons r positif et <<; alors il est clair que la quantité ) sera plus pelite que (CES et plus grande que C7 Car si on considère diverses formules (£) qui ne diffèrent que par l’exposant p; comme ces formules désignent chacune l'intégrale, prise depuis x = 0

jusqu'à x= 1, d’une différentielle pes dont le dénominateur est le

même pour toutes, il est évident que l'intégrale sera d’autant plus petite que p sera plus grand.

Mais la formule (b) donne (ER ” —P?2+ g+itin | Er »).

q P+i+i.n q Donc on a d’une part le rapport (er) Se (e +r+iti 2)

; P+g3+ itin : 1?

et de l’autre, ce même rapport < DE TE re Si 1

rapport soit>compris entre les limites 1 et 1 + > il faudra prendre. . itbi> SL et alors on aura

on veut donc que ce

0e M°M'M".. MO: É )

K' étant plus grand que &.

370 INTÉGRALES EULÉRIENNES, On sait par celle équation combien on approche du rapport de (2) à (+), en prolongeant le produit M°M'M".... jusqu’à un terme

M9; et il est clair qu’en continuant ce produit à l'infini, on aura la vraie valeur de ce rapport, laquelle sera

—1— = M°M'M"M", etc.

GR

Maintenant si dans cetle équation on échange entre elles les lettres g et r, les quantités M°, M', M", etc., resteront les mêmes, de sorte qu’on

aura encore () — = M°M'M"M", etc.

en

Donc par la comparaison de ces équations, on obtient la formule générale

Cette formule dont la découverte appartient à Euler, est une sorte d’équation aux différences finies, qui. renferme presque toute la théorie

des transcendantes (£). Et d’abord, nous allons en déduire l’expression générale des quantités @).

5. Les formules (c) et (d) donnent les valeurs exactes de la fonction (E), toutes les fois que l’un des deux nombres p et g ou leur somme est égale à n. Supposons maintenant qu'on connaisse de plus toutes les valeurs

de Œ), lorsque p+qg=n—1, et désignons eu général par A, la fonction

nn G— 1 , .

—— }, en sorte qu . ait À pm“ |

— A nn AIRE

a) (5 Das

et parce que ()= (2), on aüra aussi (-=)= À;;, (—- ;)= À,, etc. ; donc en général

On aura donc successivement