CHAPITRE V

gentes, il faudrait partir de la formule (4'), et la différencier par rapport à p, autant de fois qu’il est nécessaire. En la différenciant une fois, on aura

EE a 27 * log2 I n—q n—Qq «204 Z'= n sal. £a an Ga Là on 4n mr + sic. | min n—q Dig .2n—q Ta” s{ P° ane an re LINE an. fn fr Lie } LE ppp (Lt É 1}2n " n+g Ÿ an.fn. 7 …. T m5) 2 HE 21 p . 5n—p (== 1 SU Let ; n.fn.Gn. (3n +9) = Tr us 3n +7 5 mi

Ces suites sont convergentes, puisque chaque terme est moindre que la moitié du précédent; mais leur forme est compliquée, et elle le deviendrait davantage dans la différentielle du second ordre ou d’un ordre plus élevé, c’est pourquoi il convient de recourir à d’autres moyens, si on veut évaluer facilement les intégrales dont il s’agit.

29+ Par la formule de Part. 4, on a cette expression de Z, z=Pts phatn phgtan

P p+n p+2n où les facteurs successifs dont le nombre est infini, s’approchent conti-

nuellement de lunité qui est leur limite. Si on différencie, par rapport à p, les logarithmes des deux membres, il viendra

dz — FPE. = Li En I = Le L . 1 Zap De ee q 5) + P+ GE pan + etc.

Soit ® ou ®(u) une fonction de vu, telle qu’on ait

. etc.,

+ ph opt vP+r+n vp+an up+e+an * Tr or Us rs Him La fonction ® (u) devenant ® (1), lorsque u=1, on aura — Ze ou F0: is

Or, en différenciant par rapport à v la valeur de ®,ona wi opt porte JL etc.

d® = du { — PE PT PTIT ne Et C, }

| . + ou en sommant ces suites dD = du 5"); donc

do À ou = 20 18

390 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

Cette intégrale doit être prise de manière qu'elle s’évanouisse lorsque y —=0; on fera ensuite u =1, et on aura la valeur cherchée de ®(r). Mettant x à la place de v et faisant AT A | T= f(CEST) dr, on aura Z'= ZT ; donc si on prend, depuis x= o jusqu'à æ=1, les trois intégrales

Ù à + em FPE DE-<Su D r fe= ME (1x) À (rx) À on

la première sera égale au produit de deux autres, ce qui est un théorème fort remarquable.

30. Pour étendre encore davantage cette théorie, considérons ces deux suites d’intégrales en Z et T, prises mar æ= 0 jusqu'à X=— 1.

“un PT de es — UP je Very CR 7 dx log = | L'=] - =, Te [TT dx lg, Vas) ne É xP dx log® = Li + ie LT) —— =, T= [= = dx log* =, Vs") 7e. a etc., elc.

Il résulte d’abord du théorème précédent qu’on a Z'=2T.

Différenciant cette équation par rapport à p, et observant qu’on a . = LA d£’ àT [4 f — 1, rs =—2", = =—T", on aura Z'=Z'T+ ZT", ou L'= AT +T).

Celle-ci étant différenciée de nouveau par rapport à p, donne L'= UT + 3TT' + T"),

et ainsi de suite, la loi de ces expressions étant analogue à celle des différentielles successives de la formule ue/udr , Si l’on veut donc avoir les valeurs des quantités Z’, Z”, Z'”, etc., ou sim-