CHAPITRE Y
plement leur rapport à la fonction primitive Z, il faudra connaître les quantités T, T’, T", etc., en pareil nombre. Mais, comme celles-ci sont ration-
nelles, et contiennent des puissances moins élevées de log on voit qu’au moins la difficulté est diminuée.
31. Si l’on intègre la différentielle x"++—14x, depuis x=0 jusqu'a x=1, on aura
: 0 3 fente = = À — 5 + . — L + ete.
Si on met la même différentielle sous la forme x"—'dx.x*, ou , æ | a dx (1 + æ log x + — log x + = log’ x + etc.), son intégrale prise entre les mêmes limites , sera fe" dx + à fa dx log x + À fev" dx log* x + etc. L'identité de ces deux formules exige donc qu’on ait f[a®"dx => ‘ [ad log (+) = L :
Ja dx log(=) = =
fa" dx log)
fade log (5) = LAS, (k')
32. A l’aide de cette formule on peut exprimer les quantités T', T", ete., par des séries régulières, composées des puissances réciproques des nombres pris à des intervalles égaux dans la suite des nombres naturels.
Ainsi en développant d’abord la différentielle qu’il faut intégrer pour avoir T', on a
= 1 APTE GPA DE PHASE ER etc.
j à = fdx log pr { — HT PT ppp ae} et effectuant . entre les limites x = 0, x = 1, il vient
rtérstormtte
— E+P F5 MT TT. or
et en général
LA
302 INTÉGRALES EULÉRIENNES , Désignons en général par (a, 7)", la somme de la suite I 1 I I ; store tops topag + 4 a) laquelle deviendra (1,7})", (2, n)", (3, n}", etc., selon qu’on fera 4a=1, 2, 3, etc., # étant constant : on aura suivant celte notation, T'= (p,n)— (p + g,n) LT (p, nÿ— (p +9, n) 3 T"= (ps — p+gn)
etc.
33. Il faut observer que » et m restant les mêmes, on n’aura besoin de considérer les valeurs de (a, #}", que depuis a= 1 jusqu’à a= x; car il est visible, par exemple, que (#<+ 1, #}" se réduit à (1,#)"—1, et qu’en général on a
(a+ n,n}= (a, n)— (n) Par suite de cette formule, on aurait de même n.— ï (a+ an,n)=(a, fn EE
et en général on réduira toute quantité (a, 7)", où a est plus grand que », à une quantité semblable où & n’excédera pas 7. On voit encore que (7, 7)" représentant la suite
1 I I = ons + ns + ete)
cette quantité est la même chose que 1 Li me(i+ ts ete.).
Si donc on désigne par S,, la somme des puissances de degré — m, des nombres naturels, en sorte qu’on ait
= 14 Het aetc, (p°) onaura (n,n) = S Enfin il est visible qu’on aura aussi l’équation
laquelle, en substituant la valeur de (7, 7)", devient
