CHAPITRE VI

Mettant au lieu des premiers membres les valeurs qu’ils obtiennent par le développement en série et l’application de la formule (k’), on aura

(a,n) +(n—a,n) = Can + (na, = pi cos ao À «) (a,n)} +(n—a, nf (3 + 3 cos at)

etc.

sin ae

Ces formules serviront à établir entre les diverses quantités (a, n}", qui répondent à une même valeur de 7, toutes les relations qu’on peut obtenir par d’autres voies, et qui sont données sous diverses formes dans les ouvrages ‘ d’Euler. C’est ce que nous allons développer dans deux exemples.

36. Soit n —=6 et m = 2, on aura l'équation générale à Ca (a,n)° +(6—a,6) = SE an ?

d’où lon déduit successivement

sin® 34

ou en substituant la valeur & — à :

La somme de ces équations est |

1 35 (: — æ)S. = ET: La d’où l’on déduit S, = + +*, ce qui est un résultat connu; mais la démonstration qu’on en donne ici n’en est pas moins remarquable. Outre cette valeur deS, , on connaît (3,6) =:5 7°, (66) = 3: S=3 7": mais les quatre autres quantités (1,6)°, (2,6)", (4,6)°. (5.6) ne peuvent être déterminées par les équations précédentes.

306 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

Observons cependant que puisqu'on a

(26) =5 +x + F 2 + etc., il en résulte ag =iG+pt ht + ae) +700):

donc les quatre quantités dont il s’agit peuvent être déterminées au moyen de l’une d’entre elles, par exemple, au moyen de (1,6)", de la maniére suivante : | (1,6) = € ne ' v' GO = a —35 ” (5,6) = = m —t

37. Quant à la valeur absolue de £, elle n’est déterminable exactement par aucune formule connue; mais on peut en trouver une valeur aussi approchée qu'on voudra par la méthode qu'Euler a donnée (Cale. diff., pag. 451.)

Pour cela ayant fait

1 Li 1 1 sat toux UT Gns” on trouve en général mC— Loue el, is “CRT RE L:

s=C—;:apn +5: G+m)r — G+Fn) + Q+ns) LG +, D (a + nx) (a+ nx}° A', B', C', D’, etc. étant la suite des nombres Bernoulliens. 11 résulte de cette formule que la somme de la suite prolongée à l'infini étant désignée par (a, »)', on a (a, n} =CG; donc réciproquement on a

— etc.,