CHAPITRE IV
‘ connues des quantités (a, 2)", c’est-à-dire des suites qui résultent de la décomposition de la suite a
Sn =I1+ x ststatp ec,
en prenant les termes de trois en trois, de quatre en quatre, ou en général de 7 en 7. @p trouverait, par exemple, que la suite
1 1 1 1 a gs — 7 cie etc.
est sommable lorsque m» est impair, et qu’elle ne l’est pas lorsque m est pair.
On trouverait au contraire que la suite 1 1 1 3m t 5m t 7"
est sommable lorsque m est pair, et qu’elle ne l’est pas lorsque m est impair. Le mot sommable est ici entendu non dans un sens absolu, mais relativement aux méthodes connues jusqu’à présent.
Ces choses n’ayant point de difficulté , et ayant d’ailleurs été démontrées par d’autres voies, nous ne nous y arrêterons pas davantage. Nous ferons voir seulement comment on peut trouver, par des suites qui soient convergentes dans toute leur étendue, les valeurs des quantités € et S; qui sont restées inconnues dans les art, 56 et 58; recherché plus difficile qu’elle ne paraît au premier coup d’œil, parce qu’en suivant les méthodes qui se
présentent naturellement, on retombe sur la même difficulté qu’on voulait résoudre.
40. Pour obtenir d’abord la valeur de S,, j'observe qu’on peut supposer
(z,6) = fer |
(26) = 1 fer (6? = : ftog y | GE} = ! JE og ; (a”) (5,6) => he logr.
(GE = À fs log"r
car les seconds membres étant intégrés depuis ÿy=0 jusqu'a y =1, au moyen de la formule (Æ#'), ces équations deviennent identiques. Or, d’après les équations (y'), on a
GO — GP [ER drlosr = 4673, (2,6) — (4,6) = ! : Î=s dy lg y = . ,
Ces deux équations ajoutées ensemble, puis soustraites l’uue de l'autre, donneht les deux suivantes :
ses = Los 3 + LE = VS
y y" 9 dy log'y | =: Lis 4 324° 3 Ce NO pe
de sorte qu’on a entre ces er. le rapport très simple
AE 2 but VE TE ©
mais cette formule est susceptible d’être généralisée ainsi :
ve dy log" y__2"+:1 f[ dylog”"y (b") 1—y+ÿ 2" 1+y +3"
En effet, soit ; y — (LE r DEL, et Q= PET,
on aura log“ 1 ydy lo PE) er ni
mettant dans cette dernière ri au lieu de y, il viendra
