fEEræ() 0, et par conséquent P — = Q

Par la combinaison des équations (a'), et la substitution des valeurs données par les équations (z'), on obtient

(6) + (4,6) = If = HS + Pays, (8: 6) + (6,6) = PSE Se

Soustrayant la seconde de la première, on aura

CHAPITRE IV. doi 1+ 7) dlog'y__4 Ê der à 1+3 +9" 9 Ts Le V5; d’ailleurs on a déjà trouvé PE? s FI sé dé, donc en élimmant ne on aura +:)dy log'y . (ce!) Lie C’est de cette formule que nous allons tirer la valeur de S,. 41. Je remarque d’abord qu’on peut faire

(y + 3) dy log'y + 1/[G—)9) dy logy f 1+y + =f 5 87 JR:

La première partie

[ve 7=2(: —5+p—ptet.)=2(1—$ =°s,

donc on aura 16 —f iQ») dlogy , = QG +») QG +3 +3)

soit y = TES et la transformée sera OR E— log" >; formule qui doit toujours être intégrée depuis 3 = 0 jusqu’à 3 = 1. On voit maintenant que comme z* est toujours plus petit que 1, on pourra réduire EE en une série convergente, de sorte que l'intégrale ne

dépendra plus que de terme de la forme /2***'dz log*y. Mais, pour rendre la série encore plus convergente, je fais 2° = 1 — u*, et j'ai

11 udu à 16 Ss = [75108 s£ intégrale qui doit être encore prise depuis 4=0 jusqu’à u= 1. Cette intégrale étant prise par parties, devient

— } log (1 —7). log'y+fo8r - log (1 TT

la première partie s’évanouit aux deux limites de Fintgre; à ainsi on a simplement

402 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

1 S= /2 logr log (1 —*). |

Développant log (: — —}), et substituant la valeur D = = 2, 0n aura 4 y u

il 1 1 1 nt où ut 1 DS = 3 / ds log: . (: uni TT3 . R TZ . m+ete.). Soit donc 1 1 " cf dz log > = P ; s fud log > = P', à fuds log > = P", etc.,

ces intégrales étant prises depuis 3 = 0 jusqu’à z2= 1, et on aura

11 x E x. P° LE

BSs= Pr +: à : PETITS

42. Pour avoir maintenant les quantités P°, P”’, P", etc., j'observe qu’on a en général ; A fuds log = = log = fu"dz +f? . fuvds.

Dans cette formule, nous supposerons que l'intégrale f'uds est prise de manière qu’elle s’évanouisse lorsque 2#=1 ou u=—0, alors la partie

log - f'udz s'évanouit aux deux limites de l'intégrale, et on.a simple-

2 furdsos 2 =? [#fuds = f—-Ffuds,

où l’on voit que les logarithmes ont entièrement disparu, et qu'on ne doit plus tenir compte que de la relation #°= 1 — 2°. On a d’ailleurs

ment

2m m +1 ° 4e ds :

multipliant de part et d’autre par = et intégrant, on aura

pos) — 27 pour) —, f 4" sds 2m #1 2m +1

Or, 2d3= — udu, et par conséquent

ntm tcdz ei u*# [+ =f 1 (am+ Dam FC;

CHAPITRE IV. 403 celte intégrale devant être prise depuis 2=—0 jusqu’à 2= r, elle se réduit à — GR): donc on aura