PO

La première valeur paf fds=—f#( =, = lis); sé: u* ve UE mire A a dophur

donc on aura successivement

P° = log 2, P = 7 pe — PSP — 73 PSP, etc.

Au moyen de cette loi très simple, on calculera aisément les différens termes de la suite décroissante P°, P',P”, P/, etc. Ensuite on aura S, par la formule

18 s 1 PP, 1 PF = (PH spi mhee); ce qui donne une approximation très rapide, puisque chaque terme est moindre que le quart du précédent,

En calculant cette suite jusqu’au terme P"' inclusivement, on trouve Ss= 1.2020567. Euler a trouvé par la méthode dont nous avons parlé, et en poussant l’approximation beaucoup plus loin,

Ss= 1.202056903159594281.

(Voyez Cale. diff., page 453.) . 43. Pour trouver par des procédés semblables la valeur de la transcendante Z ; demeurée inconnue dans des équations (v”), j'observe qu’on a

G,Y= fl; =E,

Ga, = fs log = 7 +,

(4, Ep ir 0

(5,6ÿ = 2%, log > = : AL:

4o4 INTÉGRALES EULÉRIENNES, de là je tire

(1,6) (2, 6) — (4,6) —(5,6 =) 2%. = Fr;

donc 1 5 AT. GE AT

tout se réduit donc à trouver la valeur de cette intégrale. Si on fait successivement y = + (1 —u),y = }(1 + u), et qu’on ajoute les deux transformées prises positivement, on aura ci log > 2 du É (<= =).

tre) se 6 Ç= nouvelle intégrale qui doit encore être prise depuis u=0 jusqu'àu= 1. La première partie de cette intégrale

du | ee log 4. arc tang 73

et en faisant u = 1, elle se réduit à

4 + 2 x log 2

du [108 (4 — we) étant appelée T', on aura par le développement de la fraction, ER adu . 4 6 T = (: — F5 + — 5 Hete.) log (1 — u*) :

or, en intégrant par parties, on a

[— ue duos (1 —w) = TT “og (1 ut) + [ES . EE

2m +1 1— uw?

L’autre partie

et puisque la quantité (1 — 2***°) log (1 — u*) s’évanouit aux deux limites de l’intégrale , on a simplement

fu du log (x TS RS =. a udu

= renier ir a — +).

Développant la quantité sous le signe et intégrant depuis u=0 jusqu'àu=1,