CHAPITRE VIIL

Considérations générales sur les Intégrales Eulériennes de la première et de la seconde espèce.

55. Ex désignant par (©) l'intégrale f = ie" » prise depuis æ=0 : Va — x)

jusqu’à æ = 1, Euler avait pour but de comparer entre elles les diverses in-

tégrales de cette forme qui répondent à une même valeur de 7, et il suppo-

sait d’ailleurs les nombres p, g, n entiers; mais on peut considérer les choses

d’une manière plus générale.

Soit x"= y, on aura la transformée fr dy(i —7y pe ; mettant dans celle-ci p et 4 à la place de F e1, elle deviendra = D 'dr (rx,

nouvelle intégrale qui devra toujours être prise entre les limites y —0, der

De là on voit que Pmtégrale fx—'dx (1 — x)", prise entre les limites x=0,x=1, comprend l'intégrale d’Euler, lorsque p et g sont supposés rationnels; mais elle pourra en représenter une infinité d’autres.

Nous désignerons cette nouvelle ietégrale par le symbole {[p, g], qui ne laisse rien de sous-eutendu; les nombres p et q seront à volonté rationnels ou irrationnels ; mais ils devront être positifs l’uu et l’autre, parce que sans cette condition, l’intégrale aurait une valeur infinie. Au moyen de ce nouveau symbole, Pintégrale Eulérienne s'exprime ainsi,

Q=ic 0 gg). nln°n/J

56. 11 est essentiel d'observer que l'intégrale désignée par [p, g] peut être regardée comme une fonction continue de p et 4, ou comme la troisième

coordonnée d’une surface courbe dont p et g seraient les deux autres coordonnées. En effet, si l’on fait croître par degrés insensibles l’une ou l'autre .