CHAPITRE VII

des variables p et g, la fonction [p , 4] diminuera de même progressivement. Si, par exemple, on augmente p de la quantité infiniment petite «&, la puis-

sance x?" deviendra a" (à — alog”), et l’intégrale dont il s’agit diminuera de la quantité infiniment petite a f x’—'dzx log : (i— x).

57. Pour découvrir plus facilement les propriétés de la fonction [p, g], il est utile de considérer en même temps les intégrales Eulériennes de la seconde

° L . En - :

espèce. En donnant à ces intégrales! la forme /dx (4 D ", Euler supposait que les nombres p et g sont entiers, et son objet était de comparer entr'elles les diverses valeurs de, l'intégrale qui répondent à une même valeur de g; mais nous avons déjà observé qu’on peut considérer l'intégrale dont il s’agit, comme une fonction continue de la variable E qu'on supposera positive, mais qui peut étre un nombre quelconque rationnel ou irrationnel. Ainsi

a—1 a é nous regarderons l'intégrale /4x (e 5) , prise depuis +=0 jusqu’à x=1,

comme une fonction continue de a, que nous désignerons par Ta, et dans laquelle a pourra avoir toutes les valeurs, depuis a=—0 jusqu’à a= ce.

58. Si l'on fait V=—æ (11 )', on aura dV = dx (11) —adx (e = 1 ,

Intégrant de part et d’autre depuis x=0 jusqu’à x= 1, et observant que V s’évanouit dans ces deux limites, on aura

T(a+1)=aTa; (1) c’est la première et la principale propriété des fonctions T. La démonstration que nous venons d’en donner suppose a positif, sans quoi V ne s’évanouirait pas lorsque x = 1.

On peut distinguer dans les valeurs successives de Ta, plusieurs périodes ; la première comprise depuis a=0 jusqu'à a= 1, la seconde depuis a=—1 jusqu’à a=— 2, et ainsi de suite à l'infini. Cela posé, il résulte de l’équation précédente que si l’on connaît la fonetion T dans toute l'étendue d’une de ces périodes, on pourra déterminer cette fonction dans toute autre période.

Par exemple, si la seconde période est donnée, on trouvera Ti qui appartient à la première période, et T (7) qui appartient à la quatrième, par les valeurs suivantes, déduites de l’équation (1),

rimsr($), T(H)=HAiT() 59. La fonction Ta est la plus simple lorsque a= 1; alors on a T(a)= LES

416 INTÉGRALES EULÉRIENNES, fdx = x = 1. Donc, lorsque a est un nombre entier , on a généralement Ta=1,.2.Sécosoe (a— 1); (2)

c’est-à-dire que la fonction Ta est égale au produit de tous les nombres entiers moindres que 4.

Cette notion, fort claire lorsque a est un entier, ne présente plus ancun sens lorsque a est fractionnaire ; mais l’analyse y supplée en donnant pour valeur de la fonction, l'intégrale fax (( à] : prise depuis x= 0 jusqu’à

.æ=1; intégrale qu’il sera toujours possible d'évaluer avec tel degré d’approximation qu’on voudra.

60. La fonction la est très remarquable par l’utilité dont elle est dans la théorie des intégrales définies. Nous pensons qu’il est nécessaire de lui imposer un nom particulier, et nous proposons de prendre pour ce nom celui de la lettre grecque T. Nous appellerons donc en général gamma du nombre a, le produit de tous les nombres inférieurs à 4, savoir, 1.2.3,... (a—1).

Lorsque a ne sera pas un nombre entier, le gamma du nombre a sera en général une transcendante. Mais nous verrons que ces transcendantes ont beaucoup de propriétés, et qu’elles peuvent être évaluées dans tous les cas avec presqu’autant de facilité que les arcs de cercle et les logarithmes. Réciproquement le nombre & pourra être regardé comme la racine de la fonction Ta, et nous la désignerons de cette manière.

6r. Revenons maintenant à l'intégrale définie /x”-‘dx (1— x)", que nous avons représentée par [p, g]. Cette intégrale est facile à déterminer lorsque l’un des deux nombres p et g est entier. Supposons que ce soit q, et faisons U= 2(1—zxŸ", nous aurons par la différentiation ,

dU=(p+q—1) 2 dx (12 — (g — 3) a" dx (1 — xt.

Intégrant de part et d’autre depuis x=0 jusqu’à æ=1, et observant que dans ces deux limites U est nul, puisqu'on suppose à la fois p=> 0 et g >1,0n aura

fx" dx (1 —x}" = ; PS ads (a — x};

on aurait de la même manière

far 'dx (1— x) = : Ja dx (1x),

et ainsi successivement, jusqu’à ce qu’on parvienne à l’intégrale /x’'dx

qui, dans les limites données, se réduit à a Donc g étant un nombre en-