CHAPITRE VIIL 417 tier, on a généralement

Papas (x om SUN greg 2... - Fe PHI—1pP+g—2... p+1 p

Mais dans la même hypothèse on a, par l’équation (1), Tg = 1.2.3.....q9 —1, T(g+p) = (g+p—:i)(g#+p—2)....prp; donc la valeur de l’intégrale trouvée peut se mettre sous cette forme a ss “= !: TD rg far 'dx (1— x) = ET On aurait trouvé le même résultat en supposant p entier gt g un nombre quelconque, ce qui d’ailleurs se voit immédiatement en mettant 1 —zx à la place de x.

62. L’équation précédente ne contenant plus de facteurs en nombre indéfini , acquiert une plus grande généralité, et ne suppose plus que lun

des deux nombres p et q est entier ; car d’ailleurs chaque membre doit se réduire à une même fonction de p et q, laquelle est

Nous aurons donc, quels que soient p et g, l'équation

rpr

LP, 9] = TE 6) qui sert à exprimer généralement la fonction [p, g] au moyen des fonctions T.

63. L’équation (3) simplifie considérablement la théorie des fonctions [p, 9] puisqu'elle fait voir que ces fonctions, qui dépendent en général de deux variables, peuvent se déterminer par la fonction T qui n’en contient qu’une. Cette même équation, en établissant une relation entre les fonctions [p, 9] et les fonctions T, va donner les moyens de découvrir les propriétés des unes et des autres. Et d’abord on voit que dans la fonction [p, 9], les quantités p et 4 peuvent ètre échangées entre elles, puisqu’il en résulte toujours la même valeur de [p, qg]. On a donc la for-

mule (Pr, 9 = [9,p]. (4) On a ensuite, d’après l’équation (3), …

418 INTÉGRALES EULEÉRIENNES ,

rpr [P, 9] = FD

a — T(+grr C+g,r] = rHEs er

et celles-ci étant multiphiées entre elles donnent rprarr

[P,9} Ep + r}l= TE NT)

Si l’on observe maintenant que dans le second membre de cette équation deux des lettres p, 4, r, peuvent être échangées entre elles à volonté, on en conclura cette nouvelle formule :

(P,a Uea,rl= [(», 1 p+rg=larlatr,pl, (5)

laquelle contient une propriété fondamentale des fonctions [p, q].

Ces propriétés, au reste, s’accordent avec celles que nous avons démontrées dans les Chapitres I et Il, relativement à la fonction désignée par (®): mais elles ont dans notre nouvelle notation une plus grande généralité, puisqu'elles ne sont pas restreintes à la supposition que p et g soient des nombres entiers ou seulement rationnels.

64. L'intégrale [p, g] peut être déterminée exactement lorsque p+q= 1 ; en effet, considérons la formule

{a, 1—a) = fa" dx (i— x); si l’on fait 1 —rz=;, ou =) l'intégrale aura pour transformée 2 , laquelle devra être prise entre les limites 3= 0, z = ©. Or, Euler

a prouvé que cette dernière intégrale = — 7 sin ar

; ainsi on aura généralement

L # sin ar

Mais par l'équation (3) on a aussi

[a, I —4|= FCO) = par (x — à).

Donc entre les fonctions Ta, T(1 — à), on a cette équation très remarquable

rar (1 —a)= (6)

sin ax