lsbrosreusesers
On voit que, conformément à la formule, la série cesse d’être convergente passé le 10° terme, et que la valeur de log R qui en est déduite, doit être comprise entre 0.02767 7926296 et 0.02767 79250 98; ce qui donne par un milieu
LogR= 0.027967 79256 97,
valeur exacte, presque jusqu’à la onzième décimale, Mais , en continuant la suite plus loin, on s’éloignerait de plus en plus du vrai résultat.
Cet exemple met dans tout son jour la manière de tirer tout le parti possible, pour les approximations, des suites demi-convergentes, c’est-àdire des suites qui sont convergentes dans les premiers termes, et qui deviennent ensuite divergentes.
80. Cherchons maintenant une formule qui donne le développement de
CHAPITRE IX. 429 log Tx, lorsqu'on suppose x plus petit que l’unité. Soit pour cet effet M=:+ a Ha tge+ !
a SES : LI N TT æ+i ss lisse; cette dernière suite étant prolongée à l’infini.
Nous regarderons la quantité M comme une fonction continue de x, puisque sa valeur peut se développer ainsi (Calc. diff., page 443):
M = logr + CHE — + 7 — a etes; (12)
cette formule donnera immédiatement la valeur approchée de M lorsque x sera plus grand que l’unité, mais on en peut déduire aussi cette valeur lorsque x sera plus petit que l’unité. Car M(x) et M(xæ<+ 1) désignant des fonctions semblables de x et de x + 1, on a évidemment et l'application répétée de cette formule fera dépendre M(x), successivement de M(x+1), de M(x+2), etc., c’est-à-dire en général d’une . formule M(x'), où la variable x’ surpassera x de plusieurs unités, ce qui permettra de déterminer facilement M(x’) par la série précédeute.
81. Cela posé, si x devient x + &, © étant plus petit que l’unité, les fonctions M(x) et N(x), deviendront M(x+w) et N(xw); or, je dis que la somme M(x) +N (x) =M{(x + )+N(x+), et que les deux sommes sont égales à une même constante C’.
En effet, si la suite qui a pour somme N(x), au lieu d’être prolongée à
l'infini, était continüée seulement jusqu’au terme
En" étant un nom-
bre entier très grand , la somme M(x)+ N(x) et la somme M (x +) + N(x-w) ne pourraient différer entre elles que d’une quantité moindre
que ET puisque cette différence est celle qui a lieu lorsque w = 1.
Or, m étant très grand, la différence —
+= Ps censée nulle; à plus
forte raison le sera-t-elle, lorsque la suite N(x) sera prolongée à l'infini. On aura donc M + N = C,; mais puisque la valeur de N est T. I. #3
430 INTÉGRALES EULÉRIENNES, EE Le 5+z x etc.
Si on développe chacune de-ces fonctions. dans l'hypothèse que x est plus petit que l’unité, on aura | N=i+;t+aztztete, 7 (: en han elc. ) + x° (x + stat + etc. ) — etc. | |
La première partie 1 + £+ +3 etc., n’est autre chose que la constante C,; car la fonction M(x) est zéro lorsque #==0 ; donc-on aura M = Sex — Syr° + Syx° — Syxt Æ etc, (13) S, représentant en général la somme des puissances réciproques, de degré n, des nombres naturels.
82. Mais, d’après l'équation ( 5 dont le premier membre = xTx,0on a, en supposant x >1,
di ÈS = =hgr À + 7 — er + ete. 3 (14) et dans la même hypothèse on a, suivant l’équation Sa 1 A’ B M hgz+6t es hrs — ete.
donc d'logFz __ I = ms C+M, (15)
équation qui doit avoir lieu quel que soit æ, puisque M peut, être regardée comme une fonction continue de x.
"Substituant donc au lieu de M le” développement de cette fonction donnée par l’équation (5) dans l’hypothèse de x < 1, on aura
d1 | ES — — 7 — C+HSir — Ssr°+ Six — etc. , (16)
ce qui donne en, intégrant log Tr = — log x — Cx +4 E Sex — 2 Sixt Sort etc. (17)
On n’ajoute pas de constante, parce que xTx ou T(1+x) se réduit à l'unité, lorsque x= 0.
CHAPITRE IX. : 431 Puisque T{1+x) =2Tx, on déduira de la formule (17) log (14 2)=— Cri Seat 4 Sixt S tete, (18) et en changeant dans celle-cf le signe de æ, on aura log T(1—x) = Cr + 4 Seat Sri À Sixt etc. (19) 83. Observons EME qu’en vertu des deux équations T(1-+x)=aTx, Tr Ti x) =
—, on à T(rbx) T(imx)=
Prenant les logarithmes des deux membres et substituant les valeurs données par les équations (18) et (19), on aura
log CZ =)= Sa + + Seat + 3 Sixt + etc.
C’est la formulé connue qui, par s4 différentielle, sert à détetrhiner les valeurs
sin ax
S,=27", = 35 57, = 7°, etc.
On peut faire usage de cette formule pour rendre encore plus eonver-
gentes les suites contenues dans les équations (18) et (19), en les mettant sous cette forme :
log T(1+x)= 3 log -—— LC a (a) log T1 — x) =? log + Cr + 5 Sr + 5 Sixt ete. |
sin +.
Ainsi on a des séries régulières et toujours convergentes pour calculer la valeur d’une fonction quelconque Ta; ellessupposent seulement qu’on connaît les valeuré des transcendañtes S,, S,, S,, étc., qui représertent lés sommes des puissances réciproques, de même degré, des nombres naturels. Ces valeurs sont données jusqu’à la seirième puissance et avec seize décimales, dans le Calcul différentiel d’Euler, page 456 ; mais l'examen que nous avons fait de cette Table , nous y a fait découvrir quelques erreurs assez graves, et nous avons été obligé de la calculer de nouveau; nous avons cru devoir en même temps la prolonger jusqu’à la 55° puissance, terme passé lequel
chaque fraction qui suit l’unité devient la moitié de la précédente. Voici cette nouvelle table cortigée.
432 INTÉGRALES EULÉRIENNES,
Sa.
EE
CCR
O © 1 OU où b
ro E
84. Au moyen de cette table on aura, pour calculer log T (1 + x), l’une ou l’autre des formules :
IT (14 x)=— Cr + + Sixt — ESsxs + 1S xt —elc., Tir) = (TE) —Cr—3 Sox — 1 Ssxs — etc.
sin #x
Lorsqu’il s’agit de calculer log Ta pour une valeur donnée de a, on peut toujours réduire la question au cas où l’on a a = 1 + x, x étant € ?, ou même << +. Les suites précédentes seront donc convergentes, et auront l’avantage de l’être dans toute leur étendue; de sorte que le degré d’approximation auquel on peut parvenir par ces suites, n’est limité que par celui qui a lieu dans les valeurs des transcendantes S,, &,, S4, etc.
La seconde formule est préférable à la première, comme contenant une suite plus convergente. Cependant lorsque x sera très petit, il vaudra mieux faire usage de la première, parce que la valeur de log sin 7x , donnée par les tables, pourrait n’être pas suflisamment exacte. Or le moyen de suppléer
CHAPITRE IX. 433 aux tables serait de calculer log sin #x par la formule lsnrx= l(rx) — Sr + Syrt — 3 Sex — etc.,
ce qui revient à faire usage de la première des formules ci-dessus ; mais lors-
que x est assez grand pour que les tables donnent sans difficulté la valeur de
log sin x, il y aura un avantage marqué à se servir de la seconde formule. 85. On pourra simplifier encore assez notablement cette formule, en lui
donnant la forme suivante :
RS
log T(itz)= log — ! log
sin x
(23) +(i—C)xz—(S;—1) D —(S—1)& — etc.
Enfin, pour convertir ces logarithmes en logarithmes vulgaires, il faudra multiplier les termes algébriques par le module m; soit donc m(i—C)=B, 7 (Ss—1)=Bs, 7 (Ss— 1)= B;,etc., :
et la formule adaptée aux logarithmes vulgaires deviendra
ITG+a= rt C6) + Br — Br — Bsx* — B,x’ — etc.
Cette formule pourra servir à calculer log Ta jusqu’à 14 décimales, si l’on a des tables telles que la Trigonométria Britannica, qui peser ce nombre
de décimales pour Z sin 7x ; quant aux logarithmes de x et de - = il sera
toujours facile de les avoir avec ce degré d’exactitude, ou un de grand encore , par la table connue qui donne les logarithmes des 11 ou 1200 premiers nombres avec 20 décimales, et le supplément que nous y avons ajouté, Table V ci-dessus.
Pour obtenir le nombre de décimales dont il s’agit, il sera bon de calculer le terme Bx par la simple multiplication, afin d’éviter l'emploi des logarithmes à 14 décimales, pour lesquelles on n’a point de tables complètes, ou auxquelles on ne supplée que par des calculs plus longs que la multiplication. D'ailleurs, si l’on applique la formule à la construction d’une table, la multiplication dont il s’agit peut être entiérement évitée, puisque chaque produit B (x +- ) se forme du produit précédent Bx, auquel on ajoute la constante Bu. -
Quant aux autres termes Br’, B:x*, etc., ils se calculeront par les tables
434 INTÉGRALES EULÉRIENNES,
ordinaires à 10 décimales, au moyen des logarithmes des coefficiens qu’on trouvera ci-après , art. 89.
Il ne faut pas perdre de vue qu’on peut toujours supposer x << + ou même æ << 3. Dans le cas de # = à, le terme B,5x'5 ne vaut pas trois unités décimales du onzième ordre ; dans le cas de x = }, il n’en vaut pas une du quinrième, Au surplus , quand on est parvenu aux derniers termes de la formule, ces termes forment avec les suivañune progression à très peu près géométrique ; de sorte qu’il est facile de tenir compte des termes qui restent à calculer.
86. La valeur de la constante C a été calculée par Euler (Calcul différentiel, page 144), au moyen de la suite harmonique 1 + : . 3. .. +;, dont la somme M (x) est donnée par la formule
M(x)=C+ ete Et — pa ch ete, (25) A, B', C’, etc., étant la suite des nombres Bernoulliens. Appliquant cette formule au cas de x = 10, on a, par la sommation effective, . M= 2.92896 82539 68253 96825, etc., et par la sommation approchée, M=C+a2.55175 25890 G6721 1076; es C== 0.57721 56649 01532 8606,
valeur qui s'accorde, dans les 15 premières décimales, avec le résultat donné par Euler.
La valeur de C peut se calculer aussi par l’équation (23), en faisant soit æ—1,s0itx=; ;il en résulte ces deux expressions :
1—C= 12H (Ss— 1) HE(Ss—i) H3(S,—1) +Hete.,
1mCæ LE HIS 1)3t Gr 1) 3(S, — 1)s-hete; substituant les valeurs des quantités S,, Ss, $,, etc., données par la table du n°. 83, on trouve
de là on tire
par la première expression C= 0.5772a1 56649 01532 85, et par la deuxième C=0.57721 56649 01532 861,
ce qui s’accorde aussi bien qu’il est possible avec la valeur déjà trouvée , et on voit que celle-ci est exacte jusque dans la dix-huitième décimale. Il suit de là que les valeurs des transcendantes S,, $,S,, etc., contenues dans la table
