CHAPITRE XL

Où l'on prouve que les fonctions T peuvent étre déterminées dans toute l'étendue d'une période, pourvu qu’elles soient connues dans une petite partie de cette période.

101. Nous nous proposerons d’abord de faire voir qu’au moyen de l’équa-

tion (D), il suffit de con naître la fonction Tx depuis æ = 0 jusqu’à x =; ;

pour pouvoir déterminer cette fonction dans tout le reste de la première

période, depuis x = ; jusqu'à x = 1. Lou

Comme il s’agit ici non d’effectuer la solution, mais d’en démontrer la

possibilité, nous ferons usage de quelques signes propres à abréger les calculs.

Pour cet effet , désignons log Tx par (x), les équations (C) et (D) pourront

s’écrire ainsi, |

sc Ge) + Gr):

rx) HE pr) (2x) = (ar) Hi — 2œ) la.

Les seconds membres de ces équations étant des quantités connues lorsque x

est donné , nous les représenterons par la lettre d, initiale du mot donnée , | qui désignera également toute quenlité composée de termes cogaus. Nos deux

équations peuvent donc se représenter par la notation suivante,

CHAPITRE XI. 447 Cela posé, si dans l'équation (D) ou fait &æ = } + &, on aura G+a)+G+e)—(G+2)=d.

Mais par l'équation (C) on a (}+æ) =1(} — &) + d, et par l'équation (D), (a + 22) = (4æ) — (22) + d; donc G+a)=(G—e)+({a) — (22) + d.

Tant qu'on aura & < +, cette équation déterminera la fonction (x) ou (;+&) par d’autres fonctions où x est moindre. Ainsi en donnant à « toutes les va-

leurs depuis & = 0 jusqu'à &=— 2, on connaîtra la fonction (x) depuis x = jusqu’à x = +.

102, Par NET soit x=Z,ou «= ;%,0n aura

C3) = (5) + (6) — (5) + d; ainsi la valeur de (2) est composée de quantités connues. Soit encore x = }3 ou & = #4, on aura

ss) = (8) +(4)—(%)+d.

Dans le second la fonction (4) n’est pas donnée immédiatement, puisque Se est => À; mais on aura sa valeur par la même formule, en faisant = #—}=;%,; ce qui donne d’où l’on voit que (4?) deviendra entièrement connu.

103. Lorsqu'on fait x = + ou æ = = , la formule précédente ne détermine pas la fonction (+) ; mais alors les équations (C) et (D) donnent tamédiar

lement G)+(G)=d;," @) + (5) (G=4 ;

d’où l’on tire la valeur cherchée

G)=: (+ d. | Connaissant la fonction (x) depuis x = 0 jusqu’à = ;, il reste à la déterminer depuis +=} jusqu’à x = 21. Or, par la combinaison des équations (C) et (D), on a la formule (G—e)=(a)—(22) + d Si l’on donne à «toutes les valeurs depuis &= 0 jusqu’à & = }, le second membre sera connu; ainsi on aura l-valeur-de la fonction (x) ou (; — «), depuis x= ; jusqu'à x = 1.

448 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

On peut donc déterminer la fonction Tx pour toute valeur de la racine x, pourvu qu’on connaisse cette fonction depuis x = 0 jusqu'à x = ;.

Ce problème revient à celui que nous avons résolu dans l’art. 53; mais la méthode précédente fait voir plus clairement la possibilité de la solution.

104. 1] ne serait pas difficile d’ailleurs d’obtenir les solutions effectives, em réalisant les quantités désignées par d; on trouverait alors les trois équations (+ &)= (4 — a) — (20) + (4e) + (+ 20) la + Lin (4 — a),

2()= (+ m3 la Lin iæ, (i—a)—=(a)— (au) + + dr (1 — 2œ) l2 — l'cos ax.

La première servira à déterminer la fonction (x) depuis x = } jusqu'à x = +; la seconde déterminera la fonction ; ; et la troisième servira à déterminer la fonction (x), depuis x = } jusqu'a æ = ;. Enfin, d’après ces données, l’équation (C) servira à déterminer la fonction (x), depuis x = ? jusqu'à x = 1.

105. Puisque l’emploi des équations (C) et (D) donne les moyens de réduire à ; la partie de la première période où la fonction Tx doit être connue, afin de déterminer cette fonction dans la période entière, on peut conjecturer de là que si à ces équations on joint l’équation (E), il sera possible de réduire ultérieurement à } (1 — ;) ou ?, la partie de la période qui sert à déterminer tout le reste. C’est ce que nous allons vérifier par une analyse semblable à la précédente.

Supposons que la fonction (x) est connue depuis += 0 jusqu'a x=}; d’après l’équation (E) on aura

G+e)+(G+ae)+(+e)—(G+5e)=d.

Mais léquation (D) donne (i+a)=(22a)—(a)+d, (34 3e) = (6æ) — (34) + d, et l'équation (C) donne (24 &)=— (1— «&) + d; on a donc la formule G+a)=(G—c)+(a)—(22)—(5a) + (6a)+d.

Tant que Gx sera plus petit que +, ou tant qu’on prendra & < +, cette équation donnera la valeur de (x) on (++ æ) par des fonctions dont la racine est moindre, Ainsi on connaîtra la valeur de la fonction (x) depuis x= 3 jusqu'à x =}.

La formule précédente ne détermine pas la valeur de la fonction (+); mais par une autre formule que nous donnerons ci-après (art. 116), on a

106. 11 reste à déterminer la fonction (x) depuis x=} jusqu'à x =}.