CHAPITRE XI

Pour cela, soit 4a= + 3, l'équation précédente deviendra G+6s)= (+2) + (+5) + (+2) — (+2) — (2) +d.

Pour faire usage de cette formule, il faut supposer connue la fonction (+3) depuis 3= 0 jusqu’à 2—%, « étant une quantité aussi petite qu’on voudra. Alors donnant à 3 (outes les valeurs depuis 3= 0 jusqu'à 2=;%, On connaîtra la fonction (x) ou (+ -+ 6z), depuis x =+? jusqu’à x =.

On peut aussi ne faire usage de la formule précédente que depuis: = 0 jusqu’à z=:4, ce qui fera connaître la fonction (x) depuis x=} jusqu’à x=+. On déterminera ensuite cette fonction depuis x = ? jusqu’à x=;, par la

formule G—x)=(x)— (2x) +d.

Cette solution est fort simple, puisqu'elle est fondée sur une seule formule mise sous deux formes différentes; mais elle suppose qu’outre la partie de la période connue depuis æ=0 jusqu’à x=%, on connaît encore la partie comprise depuis x =? jusqu'a x = +, w étant une quantité qui, à la vérité, peut être aussi petite qu'on voudra, mais qui ne peut être tout-à-fait anéantie. Voici un autre moyen de résoudre le même problème, en supposant connues deux parties de la période non contiguës, mais telles que leur somme se réduit précisément à +.

107. Supposons la fonction (x) connue dans deux parties de la première période, savoir, depuis +=0 jusqu'à x = ;5, et depuis x=} jusqu’à

= 7: ces deux parties réunies font une somme égale à +; et pour déterminer la fonction (x) dans tout le reste de la période, il faudra exécuter les opérations suivantes :

1°. Par les formules (E) et (C), on a

(Ga)=(a)+(G+a)—(G—a)+d:

le second membre est connu depuis 4 = 0 jusqu'à & = ;, ainsi on connaitra la fonction (x) depuis x =0 jusqu'à x =}. 2°. D’après les équations ” el in ,0na

le second membre est connu Rod æ = 0 jusqu’à æ =}; donc on connaîtra

la fonction (x) depuis x = 0 jusqu’à x = 5%.

3°. Mettant & — 1 à la place de & dans l'équation précédente, on en tire

1429) — es =. 1) +d:

450 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

le second membre de celle-ci est connu depuis 4 = 0 jusqu’à 4 = !; donc on connaîtra la fonction (x) depuis x =-# jusqu'à x = <&. |

Par ces trois premières opérations, la fonction (x) devient connue depuis æ=0 jusqu'à x— 3%, et depuis æ = ;# jusqu'à x —=-Z. Il faut maintenant remplir la lacune que laissent ces deux espaces, depuis «= %z jusqu'à x = 3%, où depuis x=}— 2 jusqu'à x =! +-4..

4°. D’après l'équation (D), on a G +2) + (+2) Ga) = d:

les termes (5+ 2), ($+ 23) peuvent être remplacés par leurs complémens —($—2), —($— 22); ensuite par l'équation (D), le terme (3 — 2z) peut

être remplacé par (3—4z)— (4 — 23). On aura donc

(2) + (4e) = GE — 5) + (55) + d Dans cette équation, le second membre sera toujours connu, pourvu que z positif ou négatif ne surpasse pas +.

Cela posé, donnons à z toutes les valeurs depuis z = ;} "jusquà 3= 4%; la fonction (+— 4z) est connue dans cet intervalle; ainsi on connaîtra la fonction (x) représentée par (3-2), depuis x=i+,l jus qu'à æ=}++.#. Donc l’intervalle où la fonction (x) reste inconnue ne s'étend plus que depuis & = ?— 3 jusqu'à = i+ 2.

Donnons maintenant à z des valeurs négatives, depuis :=—+}.;1 jus-

qu'à 3=— #5; la fonction (£— 4:) sera connue dans cet intervalle, ainsi on connaîtra la fonction (++ 3) depuis 5 =— > jusqu'à 2=— 3; de sorte que l'intervalle où la fonction (x) reste inconnue se trouve de nouveau resserré entre L= ? — as etxr=i+

On continuera de procéder de la inême manière, en attribuant à z des valeurs alternativement positives et négatives. Si l'intervalle inconnu s’étend d’abord depuis x= ; — jusqu'à x = }+ {w, une première Opération resserrera cet intervalle eutre les limites x=+—w, x=1}+14; une seconde opération le resserrera encore entre les limites x—=}—2 « et x—= 5 #30, et ainsi de suite. D'où l’on voit que l'intervalle inconnu finira par s’anéantir dans la limite x = +}; et en ce point on aura , toujours d’après la même formule,