CHAPITRE XYH

Formules pour réduire au moindre nombre possible les trans- . ! 3 —— cendantes contenues dans la suiteT =, T 2, r=....r — à

étant un nombræ entier donné.

109. S n est un nombre premier, on ne pourra faire usage que de l’équation des complémens (C), et les transcendantes dont il s’agit ne pourront être réduites à un nombre moindre que :(#—1). Mais si » est un nombre composé, chaque facteur premier de z donnera lieu à l'application de celle des équations (D), (E}, (F), -etc:, qui est rélative à ce facteur, et il en

452 INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

résultera des réductions d’autant plus multipliées, que # aura plus de facteurs simples.

Si r est divisible par 2, on pourra appliquer l'équation (D), dans laquelle

. Li 2 . ‘ I on fera successivement x=-, x=-,x=-, elc., jusqu’à T=:;ce n n 2 â

qui donnera autant d’équations de condition entre les fonctions T - » T= FR I

3 A A La sssvsl me On se borne à chercher des relations entre ces fonc-

tions , parce que les suivantes, jusqu’à T , se déduisent de celles-ci

par l’équation (C), excepté T +, dont la valeur est connue. Si » est divisible par 3, on fera l’application de l’équation (E), en don-

“ . I 2 * ’ 1 * nant à æ les valeurs successives -, -, -.... jusqu’à & exclusivement, ce nn 1 qui donnera de nouvelles équations de condition. On fera un semblable usage de l'équation (E), si » est divisible par 5 ; de l'équation (F), si # est divisible par 7, et aïnsi de suite. On aura de cette manière toutes les équations de condition qui servi-

ront à réduire au moindre nombre possible les transcendantes T =,

r 2. ss. — -,et qui feront connaître en même temps celles de ces

fonctions qui sont nécessaires pour exprimer toutes les autres. 110. Considérons pour premier exemple le cas de n—12, et désignons,

pour abréger, log T (2) par Zk; la question est de réduire au moindre

nombre possible les transcendantes Z1, Z2, Z5, Z4, Z5; et pour cela nous aurons à faire l’application des équations (D) et (E), puisque » a pour facteurs premiers 2 et 3.

Les valeurs à substituer dans l'équation (D) se réduisent à deux seulement,z=;#, x=, parce qu'on doit supposer x < +; il en résulte les deux équations de condition "

Zi + 27 — La = 5lm + à la,

La + 28 — L4 = +br + # la.

Au lieu de Z7 et Z8, il faut introduire les complémens Z5 et Z4, ce qui se fera par l’équation (C), qui donne, en faisant Zr =,

Z4 + Z8 = Lan = tr + la — 1173.