CHAPITRE XIL 453 Cette substitution dennera
25 = Za — Za + + Ur + li das:
L4 = :22 + + + la — : G.
L’équation (D) ayant fourni deux équations de condition, on voit que les cinq transcendantes dont il s’agit se réduisent à trois, qui sont Z1, Z2, Z3 ; et cette solution est dans le fond la même que celle de Part. 18, où l’on n’a fait usage que des équations qui, pour les fonctions @) > répondent aux deux équations (C) et (D) relatives aux fonctions T. Mais l’application de l’équation (E), due au facteur premier 3, fournira encore une nouvelle réduction.
Puisqu’on doit prendre x < ?, on n’aura à substituer dans l’équation (E) que la seule valeur x = ++, ce qui donnera l'équation de condition
Zi hd but NT ee
mais par l'équation (C) on a Z3 + Zo= 1 lo + 32; donc
sin .
Li + 25 — 2235 = ila+:.
Substituant dans celle-ci la valeur de Z5 exprimée par Zt et Z2, il viendra Z35 = Zi — a + Llr + ila — 515 + :lsnmo; d’où l’on voit que les deux transcendantes Z1, Z2 suflisent pour déterminer toutes les autres: c’est le dernier terme des réductions qui peuvent avoir lieu entre les diverses transcendantes désignées par T £
111. Nous avions déjà atteint ce terme dans l’art. 24; mais nous n’y étions parvenu qu’à l’aide de diverses intégrations fort compliquées. En vertu de ces intégrations, on a déterminé le rapport des deux quantités M,, M;, comme il suit:
1 + L M = 923 Soudi Ms n«
454 INTÉGRALES EULÉRIENNES,
égalant les deux valeurs de H , on pourra déterminer T4 par le moyen des
deux transcendantes T4, T2, et on obtiendra ainsi, dans la notation précédente,
Z3 = Z1 — 27Za + Lx + Ella — 515 + Llsnw, valeur qui s'accorde entièrement avec celle qu’on a déduite de l’équation (E).
Ainsi le résultat qui avait été trouvé presque fortuitement par des intégrations très difficiles, est donné immédiatement par l'équation (E). En général, il paraît que les seules réductions qui peuvent avoir lieu entre les fonctions T, sont celles que donnent les équations (C), (D), (E) et les suivantes, lorsque l'application peut en être faite, à raison des nombres premiers qui sont diviseurs de n. Ces équations ont d’ailleurs l’avantage de conduire aux rédactions par la voie la plus simple et la plus courte, comme on vient d’en voir un exemple; elles paraissent donc ne rien laisser à désirer sur la théorie des fonctions T.
112. Dans exemple dont nous venons de développer la solution, le calcul nous a conduits à prendre Z1 et Z2 pour les termes avec lesquels on devait exprimer Lous les autres. Mais Z1 et Za étant relatifs aux fonctions T +, +, il peut paraître plus simple de prendre pour termés de comparaison les fonctions T4 et T+. Dans cette hypothèse, il faudra exprimer Z1, Z2 et Z5 par le moyen de Z3 et Z4. C’est ce qu’on peut faire facilement , au moyen des formules précédentes, et voici le résultat da calcul dans lequel nous
comprenons toutes les valeurs de log T 2, excepté log T+. 1 t L 1 1 3 s Es: € 2 1 I 1 I M = al; —;im—;la +28,
M = z—- UN; + +h—g5+ sine
fa
I Û 1 Li = 1 .
== T3 + br + la — 205,
MEN +ir+;b, D = — ami + Sr + Ÿ la — 115, mg Lg Se + Ma — GB LlinE.
CHAPITRE XI]. 455 113. On a trouvé dans l’art, 20 (7) = F'(sin 45°)= B; or par la formule
(e) du n° 47, la transcendante ( ) qui suppose n=}, est vhs sem) à —< Donc r': =4Byr.
De même, au moyen de la transcendante (©) dont la valeur est donnée
dans l’art. 19 pour le cas de n=—3, on trouvera °i= 21 374 Cr; désigoant comme dans l’art. 24 la fonction F' (sin 15°).
Mais par la Chéorie des fonctions elliptiques, on trouve les logarithmes vulgaires de B et C, comme il suit :
T- “og B = 0.206812 72924 1193, Ë log C = 0.203561 53657 1262.
De là résultent les valeurs des transcendantes log T £ et logT (: +5),
comme on les voit dans le tableau suivant, qui pourra be fort utile dans diverses recherches d'analyse. |
Oo Oo oO o Oo o oO.
114. On a trouvé encore (n° 22) pour le cas de 7=—8, la fonction (:) = 2°F°(tang =)=2iD, eu faisant F'(tang 7)= =D; mais la fonction (= )=5 ;
donc (T3) = 8.21DT;, Nous connaissons déjà T3, et nous avons trouyé (664)
456 INTÉGRALES EULÉRIENNES,
log D = 0.21631 59377 2807, de là résulte log T4 = 0.87702 22493 3974.
Cette valeur fait connaître celle de T£ par l’équation T£=T;. 62, ; puis
celles des complémens T3 et Ti, par les équations Ty T5 = FEV EL FiTi=
rm ps . Enfin l'application de la formule T(r-a)=aTa, fera OR ER les
valeurs de Ti 5) T(r +3), T(1 + Ë), (1 + 2), et du tout on formera le tableau additionnel qui suit :
log ra. | logr (14e).
115. Après avoir développé fort au long le cas de 7=—12, et celui de = 8, nous prendrons encore pour exemple quelques autres valeurs de #; mais ne voulant point entrer dans le détail des solutions effectives, nous nous contenterons d’en démontrer la possibilité, et à cet effet nous ferons usage des mêmes signes d’abréviation que ci-dessus. Soit d’abord x = 24 , et soit désignée par (x) la quantité log T G): on
connaît déjà, par le cas de #— 12, les réductions qui ont lieu entre les termes de rang pair (2), (4), (6), (8), (10), puisqu’en général l’expression (24) désigne 77 @) qui est la même chose que /T (2). Ainsi en appliquant les résultats trouvés dans le cas de z=—12, on aura entre les cinq transcendantes dont il s’agit, ces trois équations :
Go)= (2) — (4) + d.
Pour obtenir d'autres réductions, on fe d’abord dans rare (D) les substitutions z=#,t=%, x=f$, ce qui donnera
