CHAPITRE XH

G)+ (15) —(:) æd,

(5) + (7) — (ro) = d.

Mettant dans ces équations, au lieu des termes (13), (15), (17), leurs complémens —(11), —(9), —(7), on en tirera

Qi)=()—(2:) +d, (9) = (5) —(6) + 4, (7) = (5) — (10) + d.

Ces équations font voir que sur les six transcendantes (1), (3), (5), (7), (9), (21), il suffit d’en connaître trois.

Mais de plus, l'équation (E) fournira de nouvelles réductions, en y substituant les valeurs x = ;,7,, x = 3, toutes deux plus petites que +; cette substitution donne deux équations qui, au moyen des termes complémen-

taires, deviennent G)+@) —(D—(5)=d, (5) + (n1) — 6) — (9) = d.

Celles-ci , en vertu des relations déjà trouvées, se réduisent à une seule, qui

donne

Cela posé, on voit que les deux transcendantes (1) et (3) de numéro impair , et les deux (2), (4) de numéro pair, suffisent pour déterminer toutes les autres, puisqu’on a les valeurs suivantes :

Ainsi, dans le cas de n = 24, les quatre transcendantes T£,T£,FÈ, T , suflisent pour déterminer toutes celles qui sont comprises dans la même série, jusqu’à F #2.

116. Considérons enfin le cas de ñn = 60. et proposons-nous de trouver

combien il faut de termes de la suite F,,T35.... T #2, pour déterminer tous les autres, et quels sont ces termes.

Désignant toujours log T = par (Æ), on pourra d’abord considérer les ter-

mes où À est un multiple de 5 , et appliquer à ces termes les formules trouvées pour le cas de n = 12, ce qui donnera

458 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

Ainsi les deux termes (5) et (10) suffisent pour déterminer toutes so transcendantes (£), dans lesquelles X est «in meltiple de 5: Si l’on considère séparément les termes où Æ est pair, on aura, par l’application des équations (D) et(C), les relations suivantes :

On trouvera ensuite, au moyen des équations (E) et (C),

Ces quatre équations, combinées avec les six qui précèdent, offrent deux coïncidences , et ne déterminent que huit quantités, savoir :

(af) = (6) = (12}+ d,

(8) = (6) + (4) — (2) + d; d’où l’on voit que les quatre quantités (2), (4), (6), (12) suffisent pour dé- : terminer tous les termes (£), dans lesquels # est pair et non divisible par 5.

Enfin l'application des équations (F) et (C) donne

et ces deux-:1 se réduisent à une seule, savoir :