CHAPITRE XII

d’où il suit que tous les termes (4) où Æ est pair, pourrent s'exprimer au moyen des quantités (2), (4), (6), (10).

117. Venons maintenant aux quantités où # est impair. On aura, par 'application des équations (D) et (C), ces six conditions : (29) = (1) —(2) + d, (27) = (3) — (6) + d, (23) = (7) — (4) + d, (1) = (9) — (8) + d, (19) = (11) — (22) + d, (17) = (13) — (26) + d.

Ensuite les équations (E) et (C) en fourniront quatre , savoir : (1) + (21) — (19) — (3) = d, (3) + (23) — (7) — (9) = d, (7) + (27) — (15) — (21) = d, (@) + (29) — (11) — (27) = d.

Mais ces quatre conditions se réduisent aux deux suivantes :

(ur) = (1) + (9) — (2) — (3) + (6) + 4, (3) = (3) + (7) — (9) + 2(2) — 2(6) — (10) + d.

Enfin l’équation (F) donnera deux conditions qui, en vertu des relations déjà trouvées, se réduisent à une seule, savoir:

(@) = (3) + (2) — (6) — 4 (ro) + d.

De là on voit qu'avec les quatre données impaires (1), (3), (5), (7), jointes aux quatre données paires (2), (4), (6), (10), on pourra achever de déterminer toutes les transcendantes désignées par (#). On aura en effet, pour les termes impairs , ces ex pressions :

(ur) = (1) — À (10) + d,

(ar) = (3) — (2) + 1 (10) + d,

(ag) = (1) — (2) + de

460 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

- Quant aux termes où À est pair, nous avons donné ci-dessus leur expression, où il ne reste plus à substituer que la valeur (12) = (2) —+ (10) + d. 118. Remarquons que le nombre des transcendantes nécessaires pour déterminer toutes les autres, étant nommé N, on aura 2 G—D (3) 22 (re—$) (1— 5); SG) QG G—ù Dans cette formation du nombre N, le facteur + est dû à l'équation (C), le facteur (1 — +) à l'équation (D), le facteur (1 — ?) à l'équation (E), et le facteur (1 — +) à l'équation (F).

En général, si &, 6 , y, etc., sont les nombres premiers inégaux qui divisent N, on aura