CHAPITRE XI

Mais n étant infiniment grand, on a x"=1—- log= , donc n Eù

fé-#)

c’est la valeur de l'intégrale V, telle qu’elle a été donnée par Euler (Nova Acta Petrop., tome IV).

Si on la substitue dans la valeur de T, ou aura

Gus Fa ce ne

4 . dira ’ 150. Pour revenir à la fonclion ——, que nous pouvons représenter par da ?

Z'(a), on voit que les équations (C), (D), (E), etc., ne font connaître aucune propriété particulière de cette fonction, et qu’elles conduisent seulement à des formules relatives aux intégrales définies. Il ne reste par conséquent à considérer d’autre propriété de cette fonction, que celle qui est contenue dans l’équation (32), et qui consiste en ce que, toutes les fois que 4 sera rabonnel, la fonction Za) pourra toujours s’exprimer par la constante — C jointe à une quantité qu’on peut toujours évaluer par arcs de cercle et par logarithmes.

Nous avons traité fort au long des réductions qui peuvent avoir lieu entre

les fonctions log Ta ou Z(a), lorsqu'on donne à la racine a les valeurs succes- 3 n— 1

sives = » 25 +. Un semblable problème n’a point lieu relativement

aux ons Z'(a), puisqu'elles sont toutes déterminables, ainsi qu’on vient

de le dire. Passons donc aux coefliciens différentiels du second ordre Se, que nous désignerons semblablement par Z"(a).

131. L'équation (32) étant différenciée par rapport à p, donne, en mettant a au lieu de p,

si 1 ddira sd vi da LEE 17 °

Développant la différentielle du second membre en série, et intégrant les différens termes d’après la formule de l’art. 31, on aura dd ira 1 1 as a tot tapas tete T. 11. 78

470 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

Cette formule et celle qu’on pourrait en déduire par la différentiation , sont les mêmes qui ont élé données dans l'art. 15; et comme on ne con-

a dsl = naît aucun autre moyen d’obtenir l’inlégrale ——, il ne résultera de l’équation (32) aucune propriété des fonctions Z” (a). 132. L’équation (35) étant différenciée, donne Ze) + LG —a)=— , (38) d’où l’on voit que la fonction Z"(1 —a) se détermine par la fonction Z"(a), qui en est le complément.

Lorsque a=—;, la formule précédente donne Z"(1) =: #*. Lorsque a=1,0ona 21) =;7"; en effet, la valeur générale de Z'"(a) étant [7] as LA I Z'(a) CE re UT cette quantité, dans le cas dont il s’agit, se réduit à S, ou z- C’est aussi ce qu’on déduirait des formules L'(i+a) = — C++ Sa — Sat + Sa — etc., L'(ita) = S,— 2932 + 3S,a° — etc., .

en faisant a = 0. :

Pour avoir d’autres propriétés de la fonction Z"(a), on ER la differentielle seconde logarithmique de l’équation (D), ce qui donnera Z'(a) + Z"(3 + a) — 42"(2a) = 0; (39) de même la différentielle seconde des équations (E) et (F) donnerait Z"(a)+ 24 + à) + 23 à) — 9250) = 0,

L'(a)+2"(5+a)+2"G+ a)+ 2 + a) +2" + a)— 252"(5a)=0 : ce sont les mêmes équations qui ont servi à démontrer les équations (D), (E), (F), etc.

Il résulte de ces équations, qu’on peut faire sur les fonctions Z" les mêmes réductions qui ont lieu pour les fonctions T, c’est-à-dire que si l’on

considère les fonctions successives Z" (2); Z" (©): À" (=), ces fonctions se détermineront par le moyen d’un certain nombre d’entre elles, et ce nombre sera en général le même que celui des nombres premiers à n et plus petits que £n. Ainsi, dans le cas de n = 12, deux des transcendantes