CHAPITRE XII

Z"(5), Z'(&)....Z"(5), suffiront pour déterminer toutes les autres: ces deux transcendantes se trouveront d’ailleurs par la même méthode qui a été employée à l’égard des fouctions T,

153. En effet, si l’on désigne, pour abréger, la fonction Z’ (2) par (4),

l'équation (38) donnera, en faisant = =,

(1) + (11) = = 472 + 3), (2) + (10) = 47", (5) + (9) = 2, (4) + (8) mi, + (7) = 2% = ma V3), (G)=ims on aura ensuite, par l’équation (39), les deux conditions

et par l'équation (40), cette autre condition,

Ces neuf équations permettront de déterminer toutes les transcendantes dont il s’agit, par le moyen de deux d’entre elles. Par exemple, si l’on

prend pour données Z"(2) et Z"(-4), que nous désignons par (1) et (2), les autres transcendantes se détermineront ainsi :

GO = iG)—3()+7 (Gi —5y3), (4) = 3 (2) + 7, G) = (1) —4(2)+ 47° (2 — V3), (6) = +7, (D = 4(2)— (1), (8) = — j(2)+ >, Q@) = 5(2)—5(G)+7 (+33), (10) = — (2) + 47°, (ur) = — (1) + 47 (2 + 3).

11 ne reste, pour la détermination absolue de ces quantités, qu’à connaître Z'(r5) et Z" (#5). Pour cela, il faudrait pouvoir sommer les suites que ces quantités représentent, savoir :

472 INTÉGRALES EULERIENNES, z"(=) = 144 (: + 0 — H + co + etc.), z'(=) = 36 (r + 3 + H + + etc.)

On pourrait aussi déterminer ces quantités par les intégrales définies

dxl= 2") = 144 É cer

, del} "M Mais la difficulté d’exprimer ces intégrales autrement que par les séries précédentes, rend ces expressions peu utiles.

Lorsqu'on voudra obtenir ces valeurs par approximation, on y parvien-

dra aisément par la formule de l’art. 37.

* + ‘ à J æir 134. Considérons maintenant le troisième coeflicient Z”(a) = - ; on

aura d’abord, par l'équation (C), Z"'(a) "(x Rs a. à (41)

sin* ar

ce qui détermine la fonction Z””(1— a) par son complément Z”” (a). On a ensuite, par les équations (D), (E), etc., La) + Z"(G + a) — 82"(2a)= 0, Z"(a) + Z"(G + a) + Z"(G + à) — 2792"(5a)= 0, et ainsi de suite; ce qui établit les mêmes réductions entre les fonctions Z""(a) qu’on a obtenues entre les fonctions Z"(a).

Le cas de a— 1 donne, par les formules de l’art. 132, Z’(1) =—28;; si dans la première des deux équations précédentes on fait a=;, on aura Z"(G)= 72") =— 148, ; enfin, dans le cas de 4a= +, on aura les deux équations . s 8x

Z"(3) — 2) = — 33’ Z"(:) + Z"(3) Se 26Z"(1) — 0, ce qui détermine les deux transcendantes Z”(3) et Z'(3), par le moyen de Z'”(1) ou de S,.

Toutes ces solutions reviennent à celles que nous avons déjà données