CHAPITRE XIV

ou indiquées dans les art. 36 à 40; mais on voit plus clairement dans cette nouvelle méthode la série des opérations, et on connaît le nombre de transcendantes nécessaires à chaque solution, nombre qui a été fixé par la règle de l'art. 118.

RAA CHAPITRE XIV.

Divers exemples d'interpolation.

135, Eve, dans le chapitre XVII de son Calcul différentiel, a résolu divers problèmes d’interpolation par des suites infinies dont il ne donne la somme que pour le cas de n =>. Nous allons faire voir que ces interpolations peuvent être effectuées d’une manière plus simple et plus générale au moyen des fonctions T. i Exemple I. Supposons qu’il s'agisse d’interpoler la suite dont le n°”* terme estN=ititz....+ 2; la question est de savoir ce que deviendra N,

lorsqu’on donnera à # une valeur fractionnaire quelconque.

Nous ayons désigné (art. 125) ce terme général par @ (7), et nous avons fait voir que ® (2) est donné par la formule

— x") dx e = f- ES,

cette intégrale étant prise depuis æ = 0 jusqu’à x = 1. On pourra donc déterminer ® (n) par les arcs de cercle et les logarithmes, toutes les fois que » sera un nombre rationnel. Dans les autres cas, on déterminera ® (7) par la gi A, B C Q(n)=C+ int — et a — gne + etes où A, B', C’, etc., désignent les nombres Bernoulliens. On pourra toujours faire en sorte que cette suile converge rapidement dans les premiers termes ;

car ona@(n)=@(n+ 1) — —. Ainsi @ (x) peut être détefminé par + ; ù

474 INTÉGRALES EULÉRIENNES, ® (n + k), k étant un entier qui pourra être pris assez grand pour que la série qui détermine (n - k) ait les conditions requises.

136. Exemple II. Soit proposé d’interpoler la suite dont le terme général ou le 7°" terme est

s#+6 ,a+2% , a+3% a+ ne N=s Hat tags tan

Puisqu'on a + %=— ° + Le 2

q a nb bb : FA n)

cédent , et que l'expression de N pour toute valeur de 7, sera [3 ab — Ga a

Nan + L eG +) —0(G)]

Ainsi on pourra déterminer N par les arcs de cercle et les logarithmes , toutes

, On voit que ce cas se ramène au pré-

les fois que + n aura une valeur rationnelle. 157. Exemple III. Pour interpoler la suite dont le terme général N=: +statr Le «+ on pourra se servir de la formule (— 1) dir(r+x) N — S, + RÉ SECHE,

etappliquer les réductions propres à la fonction .

fera x =n.

Dans les cas où cette fonction ne pourrait s’exprimer exactement en vertu

de ces propriétés, il faudra, pour trouver la valeur de N, avoir recours à la série qui vient des différentiations répétées de la formule

OLD LC HS,7 —Syr° + Six — eto.

Mais comme cette formule suppose x < 1, il faudra préalablement ramener le cas proposé à celui où n est € 1 ; ce qui n’a aucune difficulté, puisque N étant une fonction de » qu’on peut désigner par f (2), on aura

J)=f(r— 1) += 138. Exemple IF. Soit proposé d’interpoler la suite dont le terme géné-

sol. I6 mu TS a+ 26 «36 a+ né — a+b'ata' a+" "st

QE 2) , dans laquelle on

CHAPITRE XIV. 475 Lorsque » est un nombre entier, on a (m+1)(m+ 2)(m+#+3)...(m+ n)= EEE), Donc le terme général N a pour expression cp lEtn+:) rG#) O'Ge) rGe)

valeur qui pourra être employée quel que soit 7.

Si l’on propose, par exemple, la suite =, - ne net etc. , son Lerme général sera Nine r(n+; — rérfn+i) ri

Ainsi pour l'indice r = 50 on aura N= :5—— Tri 5? =, pour lindicen = +, on

aura N= rh=S and 7 AE >| —s, f, valeur qui pourra se réduire ultérieurement par la relation connue . ri ” ri.

Soit encore la suite : 3 F4 ua, etc., l’expression de son terme géné-

ral sera n—tt+:) l'iT(n+i) | Ainsi pour l'indice n= +, on aura N=rh= = = pour l’indicerzæ#, | 3 RES 1 3sntr — 3ÿ3 on au N= Fri e

139. 1l est bon d’observer que la question d’interpoler une suite donnée est susceptible d’une infinité de solutions, quand on l’envisage analytiquement et sans application à un objet déterminé. En effet, soit N le terme général de la suite donnée , terme dont la valeur est connue lorsque » est un entier, et soit ® (7) la fonction continue égale à N, dans laquelle on peut mettre pour # un nombre quelconque entier ou fractionnaire ; si au heu de N

on prend ES eo 3 æ étant un angle quelconque, pourvu qu’il ne soit

sin æ pas zéro , il est visible que la suite résultant de ce terme général ne différera pas de la suite donnée. On pourrait donc, au lieu de ® (7), prendre ®(n). - Cr ts D valeur qui différerait de ® (7) lorsque » n’est pas entier.

On ni hé prendre plus généralement, au lieu de ® (x), l’ex-

476 INTÉGRALES EULÉRIENNES, -

pression ®(n).À + B sin (28% ++) +0Csin (anx + 6) + etc. 7 A+Bsina+Csine + ete. d et une infinité d’autres qui se réduisent à ® (7) lorsque » est entier ; ce qui donnerait une infinité de solutions différentes de celle qui est donnée par la fonction continue ® (7).

On pourrait appeler fonctions ondulées, les fonctions ainsi affectées d’un facteur qui se réduit à l’unité pour toute valeur entière de n. Ces fonctions serviraient à expliquer quelques paradoxes qui peuvent se rencontrer dans les applications de l’analyse.