CHAPITRE XY

le sens positif. La première sera comprise depuis += o jusqu'à æ=— 1, la seconde depuis x = — 1 jusqu'àx =—9, ainsi de suite.

D’après l’équation précédente , on voit que la fonction F (—x) est négative dans toute l'étendue de la première période, et qu’elle est infinie aux extrémités de cette période.

Si dans la même équation l’on met 1 + x à la place de x, on aura

T(—i—2)=— —— = ——— Ti x); d’où il suit que la fonction T(—a) est positive dans la seconde période, depuis a= 1 jusqu’à a—2, et que dans ces deux limites, elle est infinie.

Mettant dans cette dernière égqation 1 +x au lieu de æ, on aura encore

Le — x)= = PR À PS ET or CE 7 LA nt CE TEE TE d’où il suit que la fonction T(— 4) est négative dans la troisième période, . depuis a=—2 jusqu’à a=—3, et qu’elle est infinie dans ces deux limites.

En continuant ainsi, on voit que Ja fonction T(—a) sera infinie pour toutes les valeurs entières de 4, et qu’elle sera alternativement positive et négative dans les périodes successives.

141. La courbe dont les ordonnées représentent T(x), est donc composée, dans le sens négatif, d’une infinité de branches séparées par des asymptotes perpendiculaires à l’axe des x, et menées successivement aux distances æ—=0,—1,—2, —53, etc. Ces branches qui touchent chacune des asymptotes, sont situées alternativement d’un côté et de l’autre de l’axe, de sorte qu’il y a dans chacune un point où la fonction É est un minimum.

La fonction Ta étant supposée connue pour tonte valeur positive de a, on en déduit aisément par les formules précédentes, l'expression de toute fonction de cette sorte où a est négatif; soit en effet & un entier quelconque, et x un nombre moindre que l’unité, on aura en général

LR nl TCE ICE TUPENCE TE (&)

(— 1) +1 rx LI = x) rE+i+s)

Cette dernière formule se déduiruit directement de l’équation (C)

ou encore T(—k—zx)=

TxT(i—x)= — :

478 INTÉGRALES EULÉRIENNES, dans Hrquelle mettant £ + 1 x au liew de æ, on trouve Ti Haha) (TT (1 x).

Ces formules s'accordent parfaitement avec les résaltats que donneratent les autres équations (D), (E), (F), etc., en y changeant le signe de x. Elles offrent conséquemment la théorie complète des fonctions l'a pour toute valeur

négative de a. :

142. Pour confirmer cette théorie, nous allons démontrer, d’après la va-

leur générale du coeflicient LS ES , que la fonction F n’est susceptible que

d'un minimum dans le sens positif, mais qu’elle en admet une infimité dans

le sens négatif.

En effet, si l'on fait log Tx = Z, on aura (art. 91) dZ x—1 x! 2—1 x—1 DCR + So FIGE 0 Lorsqu'on fait += 1 où x 1, la valeur de 2 est négative; lorsqu'on fait x=2,0na d£ __1 PEL EUR D 1 to Cons C Fm EEE SL Ts te .—C=r—c, valeur positive. Donc entre x= 51 et æ=2,1ù y a une valeur de x qui

rend nulle #, et alors Z est un minimum.

Si l’on fait x > 2, la valeur de £ sera positive et augmentera jusqu'à l'infini. Ainsi il n’y a aucun autre minimum dans le sens positif.

Dans le sens négatif, au contraire, il ÿ a un minimum dans chaque période,

ou en général entre x—=— #k et æ=#t 1, À étant un entier queleonque. Prouvons, par exemple, qu'il existe un minimum entre x=--2 ct x=—3.

Lorsqu'on fait x=—2—%, w étant infiniment petit, la valeur de contient différens termes dont la somme est finie, et un terme = qui est un infini positif. Lorsqu’ensuite l’on fait x =— 3 + w, la valeur de = contiendra de même des termes dont k s6mure est finie, et un terme —; qui est un infini négatif. Donc entre ces deux extrêmes, il y a une valeur de nulle, donc il y a un minimum entre x = —2 et x =—5, confor-

dx mément à la théorie précédente.