CHAPITRE XVI

Construction et usage de la Table des logarithmes des fonctions T.

143. Nous nous sommes proposé de calculer jusqu’à 12 décimales, une Table des Logarithmes de la fonction (1x), en donnant à x toutes les valeurs de millième en millième, depuis += 0 jusqu'à æ = 1. Vos comment ces calculs ont été faits.

ÆComme les séries qui servent à caleuler les différences successives de la fonction log Tx, sont moins simples et moins convergentes que celle qui donne immédiatement la valeur de cette fonction, nous n’avons point fait usage des différences , et nous avons calculé directement chaque terme par la formule (24), et pour les cas où x est très petit, par da formule

log T(i+x)=— l(1 + x) + Br + Br Ba + Byrt— etc. On a calculé ainsi les valeurs de log T(1 +x), depuis x = 0.001 jusqu’à x#æ0.250; ces valeurs ont servi dans chaque cas à déterminer leurs eomplémens au moyen de la formule —* (1— 3) LA CE EE (44)

On a donc obtenu à la fois les valeurs de log Ta, depuis a = 1.000 jusqu'à a= 1.290, et depuis a 1.750 jusqu'à 4= 2.000.

Au moyen de ces valeurs qui composent déjà la moitié de la période, on a trouvé les valeurs de log l'a depuis a= 1.375 jusqu’à a = 1.625 ce qui forme un troisième quart de la période, par les formules

ETG +) ef (is) F(i— de Ti +25) ‘ "aux ?

TG + a) = pe. mi +2),

7Qe+

480 INTEGRALES EULÉRIENNES ,

dans lesquelles on a donné à x les valeurs successives depuis x = 0.001 jusqu’à æ — 0.195.

La seconde des j REEL (45) jointe à léquation (44), donne les formules

Ti zx) = FR - ft,

nn (46) Ed nl Las

T(2— x) = rG +) . Dur au moyen desquelles on a déterminé log Ta depuis a = 1.250 jusqu’à a= 1.312, et depuis a — 1.688 jusqu’à a= 1.750.

Pour achever de calculer le reste de la période, on a passé des formules (46) aux formules (45), et ainsi alternativement, jusqu’à ce qu’on eût les valeurs de log Ta, qui s’approchent le plus des limites des deux suites qui sont 1 + d’un côté, et 1 + de l’autre.

144. À chaque logarithme de la Table, on a joint ses différences première , seconde et troisième. Ces différences marchent avec la régularité nécessaire pour garantir l’exactitude des calculs ; elles serviront à faire reconnaître et à corriger les fautes, s’il s’en était glissé dans l'impression ; de sorte qu'avec tous ces secours, on peut regarder les transcendantes T comme étant connues avec un degré de précision plus que suflisant pour toutes les applications qu’elles peuvent recevoir. Il faut maintenant entrer dans quelques détails sur les interpolations auxquelles donnera lieu l'usage de cette table,

Soit, pour abréger, À — log Ta, et soient d'A, d'A, JA les différences successives de À, telles que la Table les donne, en supposant que les valeurs de a croissent continuellement d’une quantité ® = 0.001. Pour avoir le terme X qui représente log T(a+ wx), on aura Ja formule

X=A+æx(JA+ 2 (J'A + (SA, (47) dont le calcul se fera de la manière suivante :

Étant donnée la valeur de x qui sera toujours plus petite que l'unité,

on calculera le terme = d'A jusqu’à la douzième décimale seulement,

et on formera , en observant les signes, la quantité J''A — 2) d''A,

qu’on pourra appeler, comme ci-dessus (page 36), la di ifférence seconde corrigée, et qu’on désignera par d'Ax. On calculera de même jusqu’à la