CHAPITRE XVIL
5ar
t=(12) = 0.00 jusqu'à t= 0.50, la seconde depuis x= 0.80 jusqu'a x = 0.00.
Il. IL. | IV. V.[ VIE x. Z. Dif. 1 IL. HI. IV. | V.' | VE 9 71973|3204 0.45l0.36570 45303|1111 34220| 15 2776 3 5 77671 27913] 1568] 66 Ù 1e Star l30646 3147 7 5 si 0.44l0.35459 11074|1 ae 1 4 w 45] 1502] 61 1e 66382|30283 30283 . 78 0.4310.34363 04612|1081 06608| 1 7a0û 24843| 1441] 55 7 ” 63 0.42|0.33281 98004|1066 33 14 4866 23402| 1386|[ 48] 1 1 633 129004 Girl sl Îo.41l0.32215 64905|1051 84433 7 25264] 22016| :1338| 38 c “Rue 29032| 647] 20 0.40[0.31163 80472|1037 59169! 14 03248] 20678] 1300 38 ! E 83 L — Fa K 0.30|0.30126 21303 SE + 13 82570 19576 1262| 29 ! 11 83747 277 Gês 1 0.3 0. = D 653821 7 51/*13 63192] 18116] 1233] 20! — 1 ui 5127097) 6841 7 0.37[0.28092 92031 10150] 13 45076 16883| 1213|[ 21 14 ds 6 BE 092 rés 0.36/0.270g90 1872] gba 65083] 13 281 15670! 1192 7 — 1 mi mg) Lama TUE Lo.35l0.20114 167 -80 36890| 13 12523] 144798] 1185 6 B, F 13 go5B5 24978 741 9] Lo:34lo.25144 79 79 899 956 2436| 12 98045] 13293] 1150 — 2| 10 3 : jp 4 LE 71 o.33l0.24188 55532| 943 26322 12 849952] 12114] 1181] - 12 3 de “ ne. re » 0.32|0.23245 29210 930 41570] 12 72038] 10933] 1193] 16] 14 5 Pr cris 739 0.3110.22314 87640] 91 12 Gr705 74ol 1209] 30 ; 1 "TBE ZE ge —|— 0.30 HUE, 18708 go d0$ 07227 12 51965 Bb3 12 34, 16 0.29|0.20492 11481] 892 55262! 12 43434 1273] 50! 14 | ER 20575 a. { o Ke Le 56219 sde En 12 36142 me 1323 + 10 a 519847 768 D. 27 o.18719 4391 nf 12 30123 Gb 1387 7 24 18287 Css { o.20|0.17851 68705| 85 15563 12 25427 33 1461[ 98] 21 1 ol 1É28 1 = Be La DEL. IE 0.25 ir 843 20136] 12 2211€ 1848 1559] 119] 2 : S18as QUE CL ind 0.2410.10153 03006! 830 gBo18| 12 20270! + 289] 1038] 144] 37 15 r- 5) 1674 0.23/0.15322 04988 es 77748 12 19gf — 1389] 1822] 181 " 15 41572 0.22|0.14503 Apr 06 5516] 12 21 70 3211] 2003| 21 o.21l0.13606 69453 NE ET 12 24581 5214] 2222 27 2 0.20]0.12902 33076 702 11816 12 29795 7430! 2496| 346 8 HE. IL. | IV. | v. vif o.1 19° 12120 21260 76 82021| 12 37231 9932! 2842| 429] 124 NL ui 0.11350 39239 757 44790! 12 47163 j 3271] 6553] 16 3 G168/4803/388l 44le- 1710 10592 94449 544 7025| 12 7 160 3824] 718] 221 sa 8289 [71365/4615(344| 34° ce 0087 gza| 782 37690) 12 7 1909) 4542! 959) 327 rt dé 50|4o71310 31 0.15|0.0g115 9132 719 678 12 1] 24411 5481 1260! 47 a1 44579 962879 3761/279| 30f°- 4 s:o7689 Ÿ 34 o6 pr al ER HEC 13l0.0n 999] 13 90154 4o2| 2405| 11 a Pa Br 6 SA à Ge) Liv] Ml ue 6[52403/30061205| 23[° 1! 0.06315 € LR 0 080 14 31924] 56088 14584 5565! 3478 o 16843 5 Hoñgy/a8o 18e) 12 0-1010.09649 81683) 651 76724) 14 88012] 70672| 20149] g043| 6620 of°-°9 0.0490 05159 030 88712] 15 58684] goba1 29197 15863/15018 ; Sn fe RE 19 0.0Blo.o nn 16447! Gr 30028| 16 0508 1 20013] 45055|30881 1 74553 3977 ‘7e -07|0.03739 86419 604 80523] 17 18] 1 65068! 55936 33045 Sg23o (21 ee g[130 211°-00l0.03135 0 587 11005! 19 34586| 2 41004 1 15 066 2034 109 4f}27/2-22947 of8o: 567 76419] 21 75590] 3 87609! __ |__| __ Tr 3Éo3alio25l108l 16 0.04[0.01980 18472 546 00829| 2 25 63199 16 2 17133107 . d 111°:03l0-01434 17643] 520 37630] 33 120d} 4: 7 31287 alo-02l0. che 80013 £ 2: 25966! 60 71119 15 nas 20556 te 9.0110.00426 54447) 426 54447 15 27767 27913|1 D > 0.00|0.00000 00000
522 INTÉGRALES EULÉRIENNES, 187. Ainsi étant proposée la fonction Z = /dx (57, si l'on fait.....
(y = tyouæ—=e—",.cette fonction sera aussi exprimée par la formule
Z=yx—afe-tdt, où l’intégrale doit être prise à compter de t= 0; on
a donc le choix entre les deux expressions, l’une par la variable x, l’autre par la variable £.
La première partie de notre table a été calculée, selon la seconde expression, pour toutes les valeurs de +, de centième en centième, depuis £=0 jusqu’à 4= 0.50. On l’aurait pu continuer jusqu’à une valeur plus grande de t, par exemple, jusqu’à = 5, comme l’a fait M. Kramp, dans une table de l'intégrale /e—t"dt, placée à la fin de son Analyse des réfractions. Quant à l'intervalle depuis 4=3 jusqu’à t= « , il paraît immense, cependant il n’embrasse, par rapport à la variable +, que le petit espace depuis æ= 0 jusqu’à x—=e-9=—0.00012 312 etc.; on y suppléera aisément en calculant directement, dans chaque cas particulier, la fonction Z par la formule (63).
188. Étant connue par la table la fonction Z=A , qui répond à la variable x=a, si l’on veut avoir la valeur de la fonction pour une variable peu différente x —=a— 4, il faudra d’abord, pour la facilité du calcul, exprimer les
fonctions par la variable £. Ainsi faisant x = e-",out= (4 Dh , puis déter-
minant b et 6 par les équations b— (y, b+c =(4—), la question sera de déterminer la différence d'Z d’après l’équation Z=y/7—2/fe—t"de, en supposant que £ prenne successivement les deux valeurs b, b-6.
Soit donct= b + ;0n aura, en observant quea=e—#,
d'Z= 2afe—3b2—. do; cette intégrale doit être prise depuis w=—0 jusqu'à w=6, et comme la
quantité 6 est supposée très petite, on pourra développer d’abord le facteur e—*, ce qui donnera
Je ba do = fe-bude — fe bed +? fe 2buctde — etc. ;
ensuite développant e— 2b* dans les différens termes, excepté dans le premier, et faisant, pour abréger, 266 — À, on aura la différence cherchée
CHAPITRE XVII. 523 a | : a 3 JZ = 3 G — e—») — 2461 (3 — 7 +27 — 3.5 + etc.)
Hat G—s+i ge) (6 — 246! Ç — . + etc.) | + 246? (: " etc.) — etc.
Chaque ligne de cette formule forme une suite fort convergente, et les différentes lignes décroissent à peu près comme la progression 6*, 65, 67, etc.; il suffira donc presque toujours de calculer un petit nombre de termes de cette formule, pour avoir une valeur très approchée de la différence d'Z, d’où lon déduira Z= À — d'Z.
Cette formule servira à interpoler la seconde partie de notre table, dans les cas où la série des différences ne décroitrait pas assez rapidement pour donner un résultat exact jusque dans les dernières décimales. Cependant si æ
n’était pas plus grand que 0.02, il serait encore plus simple de calculer directement la fonction Z par la formule (63).
189. Au reste, pour donner un exemple du calcul de la formule (64), nous allons déterminer la fonction Z(0,02) où æx=—0.02, par le moyen de la fonction Z(0,03) supposée connue, ce qui est un des cas les plus difficiles que puisse présenter l'application de notre formule.
Dans le cas dont il s’agit, on aura 4=0.05, a—@=0.02, ble, (b+ 6)" = 50. D'après ces données, on calculera le premier terme (1) de la formule, comme il suit : |
Misc 9-63778 431130
Amies. 9« 25369 523279
524 INTÉGRALES EULÉRIENNES,
- e* = 0.67410 027526 ,, f—0o.17127 549556 1 — 6e = 0.352589 972474 Ù 9.82872 450444 son log...9.51308 3got41
En second lieu viennent les termes de...... (a,1) — 2 335346 la suite 519 777934 — 2a6 ant É—— ‘ & — eto.), (22) +. 690754 ‘ 520 468688 a nous désignerons successivement par (2,1) (2,3) — 10806: 2,2), (2,3), etc., et qui se déduisent aisément Fos Zknre. chacun de celui qui le précède. : ns le . (214) + 11937 Les termes de la seconde ligne, savoir. 320 371658 + 246 a —s+e. —ete.), étant die (2,5) — 1009 de même par (3,1), (3,2), etc., et semblable- (25) + __ #9 ment ceux des lignes suivantes, qu’on calculera 520 370718 jusqu’à ce qu'ils ne donnent plus rien dans le (3,1) + 7769 dixième ordre de décimales, on aura les résul- (3,2) — 2553 tats ci-joints. (3,5) + 431 La valeur de d'Z, qui est le résultat total de (5,4) — 50 la formule, étant retranchée de la valeur connue 520 376315 de Z(0,05), on trouve celle de Z(0,02),la même (4,1) — 21 qui est inscrite dans la table, et qui a été cal- (4,2) + 7 culée directement par la formule (16). m0 :00830 37630
. $ VL Jntégrale complète de l'éqüation (57).
190. Les recherches précédentes nous conduisent à déterminer les cas d’intégrabilité de l'équation différentielle de Part. 171.
Si l’on suppose qu’on ait en même temps T=1 et # —0, la formule (58), exprimée en fraction continué, sera, comme nous l’avons déjà dit, l'intégrale de l’équation (57). Si l’on suppose, de plus, que l’un des deux nombres æ, æ+6, est un entier négatif, il est visible que la fraction continue se
