CHAPITRE XVIL
terminera d’elle-même, et qu’on aura ainsi la valeur de T exprimée exactement par une fonction rationnelle de £. L'intégrale étant connue pour ebacun de ces deux cas généraux, il sera facile d’avoir , dans la même supposition, l'intégrale complète de l'équation (57), laquelle ne supposera plus qu’on ait en même temps T=1 et £ =0.
En effet, par le tableau analytique de Part. 172, on voit que l’équation différentielle proposée en T, est liée avec les transformées successives en T’, T", T”, etc., de manière qu’il suflit de résoudre complètement une de ces équations, pour résoudre toutes les autres, et particulièrement l’équation en T. Or, par la loi des transformées successives, il est évident que les coefliciens qui étaient & et 6 dans l'équation en T , deviennent æ et 7+-6 dans la transformée paire en T*, et qu’ils deviennent 1—æet 5—+æ+6 dans la transformée impaire en T**+:,
191. Soit donc 1°. 6——n; pour avoir les transformées successives on prolongera la suite des équations,
F=1+(@+6exT, à + (1 + EXT", m=1:+(G+e+6iT",
etc.,
jusqu’à celle qui donne la transformée en T*—*, savoir:
p==1+(—: +a + CT = (a JT;
cette transformée sera CAT (1 — (1 — «4 - +: 1 — cu (T1) d& RES Ts + (æ 1 X me = 0.
Enfin si l’on fait —=—=1+ÈY, on aura pour dernière transformée,
D + So:
es
Celle-ci étant linéaire par rapport à v on en tire
quite F(A—Se- sel &),
À étant la constante arbitraire.
T. Il. 85
526 INTÉGRALES EULÉRIENNES ,
Eliminant donc successivement T', T'..., T1, Y, au moyen des équations précédentes, on aura l'intégrale de l’équation proposée en T, laquelle contiendra la constante arbitraire À, et sera par conséquent complète.
ï 192. Dans cette intégrale, outre le terme Af*e ©, qui appartient aux
exponentielles ordinaires, se trouve comprise la transcendante fY—1—*et dy qui, pour les valeurs positives de Z, semble différente des transcendantes T(a, x); mais pour les valeurs négatives de £, ces deux transcendantes sont de même nature.
En effet, soit Ÿ=—5, on aura /{—" —set Œ=(— 1} fe-1-s e “dr;
. 1 I soit encoree “=x; où -=/-, on aura « x
foi fdx (EYT'=r(e, x);
dans ce même cas on aurait 1 :
= come [A—T(a,e °)].
Ainsi le simple changement de en — ©, suflit pour que l'intégrale complète de l'équation proposée en T, puisse être exprimée par la fonction T(a, x), en faisant x=e ‘; elle satisfera à toutes les valeurs positives de æ, ou à toutes les valeurs négatives de £. Ensuite si l’on change le signe dé &, ce qui
rend & positif, la fonction T(a, æ) supposera x = e*, c’est-à-dire x > 1 , et elle se déterminera alors comme on l’a fait voir dans l’art. 164. Donc dans tous les cas, l'intégrale complète de l’équation proposée s’expnimera par la transcendante connue T(a, x), en donnant à cette transcendante toute l’ex tension dont elle est susceptible.
193. Soit 2°. a +6 =, les transformées successives devront être prolongées, suivant la loi de l’art. 172, jusqu’à la transformée en T** qui sera
2ÎT?" Ca (OX — pro
Dans celle-ci, faisant de nouveau F —=1#€Y, on aura la dernière trans= formée
CHAPITRE XVII. 527 dY x a + St! +i=0, dont intégrale est us ge F(A—Jr—S à de) Connaissant Y, on obtiendra successivement les valeurs de T**, T**—*, et enfin T , de sorte qu’on aura l’intégrale complète de l'équation différentielle
proposée.
194. Dans cette intégrale se trouve la transcendante JSe--2% dt qui, pour
toutes les valeurs négatives de Ÿ, se ramène immédiatement aux fonctions | 1
T(a, x). Car faisant Ÿ = —6 et ensuite e “=>x, ou = l=, on a : … F=T—*e(A— œ«—1e dr),
et fase “de = fds(e)" =T(1—4,x). Ainsi dans le cas de Ÿ négaüf, l'intégrale de l'équation différentielle proposée dépendra simplement de la fonction T(1—&«, x).
Dans le cas de £ positif, on substituera à la fonction T(1—&«, x), ce que
devient cette fonction lorsque x=@, c’est-à-dire lorsque x est>1; ou bien , pour éviter des transformations qui quelquefois sont embarrassées d’ima-
ginaires, on conservera dans l’expression de T la transcendante fT*—2e%df qui s’évaluera convenablement suivant les différens cas.
Si æ& est un nombre entier positif ou négatif, l'intégrale dont il s’agit s’exprimera tou jours exactement, ou se réduira à la forme connue [ æ. Si æ n’est pas un entier, soit y =u, on aura fée = fu-te"du, ce qui donne par le développement de e-", la valeur approchée
12 gs : NR.
- — — 4, — etc.
. On peut aussi mettre cette intégrale sous la forme
[Ye—2 ed? — const. —
u?—* > du
const. — e# (— — = —————— 1— d 1—4,2—4
d’où résulte
528 INTÉGRALES EULÉRIENNES ,
LEE PRE PTS TRE PER NES RES y —=A ni AT 1—2.2— 8,3 —
=+etc.,
série qui pourra être divergente dans les premiers termes , mais qui deviendra toujours convergente après un certain nombre de termes.
195. Si, au lieu de faire les substitutions dans l’ordre indiqué art. 172, on les fait dans l’ordre inverse, on aura les équations suivantes qui serviront à déterminer les transformées successives en T°, T°, T°Gr—1), Tetn),
