CHAPITRE XVII. 529 HG — a) + AY

dont l'intégrale est Y =! ” (A—Jt-1-e Ed); | Li

et en faisant toujours la substitution e ? =ZX, on aura

gene = fl () "=y(e, 2)

Donc alors l'intégrale complète de l'équation proposée s’exprimera au moyegde la fonction T(æ, æ). -

196. Il reste donc démontré qu’étant proposée l'équation différentielle,

ŒaT , a+:

véto +é—-peo,

on en pourra toujours trouver l’intégrale complète au moyen des fonctions

T(a, x), considérées dans toute l'étendue dont elles sont susceptibles , si l’un

des nombres 6 ,æ<+-6, est un entier positif ou négatif, Se Nous remarquerons que si l’on proposait l'équation différentielle

PT HUATH 1 )Z+ BEZ+ CE — Do,

où il y a quatre coefliciens constans A , B, C, D, cette équation pourrait être ramenée à la même forme que l’équation précédente qui ne contient que deux coefliciens constans. En eflet, soit Z= mT + n,m et n étant deux constantes indéterminées, l’équation transformée en T sera

me TE + Br'éT* + (AË + 1)mT + Br + n=o + 2Bmn£T + Anÿ — D | + C.

Déterminant » d’après l'équation Bn°+ An + C=0, faisant ensuite... m=D—n, 6—Bm, æa— A+ 2Br, on aura

+ Det +=),

équation entièrement semblable à l'équation (57). Donc l’équation proposée en Z sera intégrable si l’un des nombres

530 INTÉGRALES EULÉRIENNES.

BD + £ A + 3#/(A* — 4BC), BD + 4 À — : ÿ/(A* — 4BC), est un enter positif ou négatif.

197- Nous remarquerons enfin qu'on peut donner à l’équation (57) une forme analogue à celle de l’équation de Riccati. Pour cela, soit d’abord {=Azx", T=Bxy; soit ensuite m=—;, B=—;, ÂA= +, la trans.

'yentz = 0; enfin faisant....

La d s formée en y sera + +y — na

Y—3aenx" =32,0on aura

E+ 24 (mia —Cpz — Lara" = 0.

Cette équation, qui estiplus générale que l'équation de Riccati, sera donc intégrable si l’un des nombres 6,æ-- 6, est un entier positif ou négatif. Dans le cas où l’on a 6 —1— 14, cette équation devient. ..... ADP = Ha —janx" =0; elle sera mtégrable smivant da théorie précédente, si l’un des deux nombrés ?—ix, 1-4, est un entier positif ou négatif;

alors l’exposant de æ, savoir, — 2,se réduit à la forme — - +) À étant

un entier positif ou négatif; on obtient ainsi les mêmes résultats que présente la résolution connue de l'équation de Riccati.