SECTION PREMIÈRE
Sur le Développement de la puissance (1 + a*— 2a cos @}-».
1. O; peut toujours supposer 4a<< 1 ; car sion avait 4 1, on mettrait - à la place de &, et la puissance à développer serait a** (1+a*—2acosp)-",
a étant € 1.
Cela posé, si lon fait D = 1 + a°— 24 cos @, et qu’on suppose
D-"= P, + 2P, cos ® + 2P, cos 29 + 2P, cos 39 + etc.,
l'expression générale du coefficient PA) sera donnée par là formule suivante où l’intégrale doit être prise depuis ® = 0 jusqu’à 9 = +:
PO)=: fee. )
En effet, on sait que l’intégrale f'd cos A cos 4@ prise entre ces limites, se réduit à zéro, pour toutes valeurs des entiers À et, pourvu qu’ils soient différens l’un de l’autre ; ainsi en substituant pour D" la valeur développée P,+ 2P, cos + 2P, cos 29 etc., l'intégrale fD—"d@ cos A se réduira au seul terme 2P(A)fdp cos" A9, dont la valeur est P(A), ce qui donne la formule (1).
Cette formule réduit aux quadratures la détermination générale du coefficient P(A); mais il importe de chercher une autre expression de ee coeflicient propre à en faciliter le calcul numérique pour toutes valeurs données de n et de À.
Test nécessaire, pour cet effet , de traiter séparément le cas où l’exposant ñ est un nombre entier, positif ou négatif, et celui où n est rr-némbre-fraetiunnaire. Dans le premier cas, la valeur Qu cofficient général: P(A) peut être déterminée exactement par une fonction rationnelle de n et de À ; dans le
second cas, Iles. coefliciens P (A).sont en général des Iransçendantes qui ont
beaucoup de rapport avec les fonctions ellipuques et qui coïncident avec elles lorsque 22 est un nombre impair.
$ 1. Solution du cas où l'exposant n estun nombre entier, positif ou négatif.
2. Nous ferons toujours a < 1, D= 1+ a°— 24 cos ® et D—"= P, + 2P, cos ® + 2P, cos 2 ® + 2P, cos 3 ® etc.
Dans celte série, le coeflicient P (A) qui accompagne cos A@, suppose 7 constant ; mais si On à égard à la variabilité de #, ce coeflicient , fonction de deux variables, devra être désigné par P(A, #); on pourra en outre considérer P(A, #2) comme étant fonction de 4, et différencier, s'il y a lieu, ce cofficient par rapport à 4.
Cela posé, on sait par la théorie des suites récurrentes, que la suite infinie 1 Ha cos® + 4° cos 29 + 4° cos 39 + elc., n’est autre chose que le dévelop-
1 — a cos ® . :
1360080 + a? suivant les puissances ascendantes de a. De là on déduit l'équation
— 1 + 24 cos ® + 24° cos 29 + 24° cos 39 + etc.,
pement de la fraction
1— à 1— 240089 + 4° ou | D = == + 24 cos ® + 2a* cos 29 + 24° cos 30 + etc.) ,
ce qui fait voir que dans le cas de n=1,0naen général
P(à, 1) = Es (2)
— a" - Au moyen de cette valeur, nous allons déterminer successivement P(A, 2), P(A,5), et en général P(A,n), nr étant un nombre entier positif quel-
conque.
1 d@ cos ®
3, Pour cela différencions par rapport à a l'équation P(A,n)= =] 5,
nous aurons
P EC n) = = f re ere un (2 cos ® — 24);
multipliant de part et d'autre par 4 et mettant au lieu de 24 cos ®—24* sa valeur 1 — a —D, on aura
adP (a, n) — : (x — a) d cos den — de cos xp da. , + De+: æ Dr
Le second membre de cette équation se réduit à #(1—4)P(A, n+H 1)
—nP(A,n),doncona.,
1 d[aP(à,n)]
VE TT ER | 2 RS 6) Ainsi le coeflicient P(A, n+ 1) se déduira en général du coefficient P(A, n), au moyen d’une simple diflérentiation faite en regardant 4 comme seule variable ; et puisque nous connaissons la valeur de P(A, 1) par la formule (2), nous en déduirons successivement les valeurs de P{A, 2), P(A, 5), ete., savoir :
P(à,2)=— re +i—a(a— 1)], P(,3)= = ; Er. [CA + 1) (à #2) — 20%(à + 2) (à — 2) + af(a— 2) (a —1)],
P(a,{)= . ro On (42) (43)—3a(ata) (a4+3) 3) H3a{(a43) (a—3) (à—2)—af(a—3) (a—2) (a—1)], P(à, D 57 : eh) C4+2) (43) (+4) fa"(at2) (243) (+4) (3—4)
+641(143)(2+4)(— 4) 0—3)—4a (a+ 4) —4)(—3)(0—2) +a"(a—4) (2—3) G—2) QG n)], etc., La loi de ces expressions est facile à ‘saisir, et errgénéral la valeur de P(n, À) sera donnée par la formule suivante :
PGA, n) me ges HUB eng vs à
et n—1 D — jh 1 —1.n— 2 73 me À mms À, fm À 9) B= 1 + 1 FES +” ral (4)
—1,n—90,n—— 3 Remi i. mien, ue à 3 UE al Lisa mme ne me, 7 1.2.3 , AH 1.a+ 2.2 +3 etc
Pour s'assurer de l'exactitude de cette formule, il suffit de substituer la valeur générale de P (à, 7) dans le second membre de l'équation (3); on trouvera, après les réductions, une valeur de P(A, 71) qui ne sera autre chose que ce que devient la fonction P(A, x) en mettant 7 + 1 à la place de n. Tout autre mode de vérification serait moins facile que celui que nous indiquons.
4. Le cas le plus simple est celui de n = À +1 ; alors B ou B(A, n) se réduit à son premier terme 1, et on a
— 1 ffdg cos xp où à ‘adbi.adha..22 AR De PT aa
T. Il. 86
Un autre cas qui mérite d'être remarqué est celui de À = 0 ; alors on a
D Pan pe a (Et
formule dont les coefliciens sont Jes quarrés des coeficiens du binome élevé à la puissance » — 1 ; elle donne en même temps la valeur de l’intégrale
se , prise depuis @ = o jusqu’à ®—=#. On aurait par exemple,
IE = gg (+ fret + Grat + rat + at).
5. La formule (4) ne laisse rien à désirer lorsque » est un entier positif, mais elle ne peut s ‘appliquer au cas où n est un entier négatif; € ’est pourquoi il est nécessaire de chercher directement la solution de ce cas, c’est
à-dire La valeur générale du coeficient P(A,—n#) donné par l'intégrale définie - 2 fD" d? cos Ag. Or, sans passer par les cas particuliers, on peut dé-
terminer tout d’un coup la valeur de cette intégrale.
En effet, le polynome 1— 24 ç0s,@ + a" étant décomposé en ses deux facteurs 1 imaginaires, On aura
DaÆ(ri—aev-t) (1— ae); si ensuite on suppose (x 4 eV} =1EK, et" + Ken vrt. + K, et pete, on aura ‘semblablement | axe 1 — 1 Gap Y = 1 + K,e—v— 1 +K, en v— 7 + K, tnt etc.
Multipliaut ces deux équatiôns Faune par l'autre afin d’avoir la valeur de D", et observant qu'il suffit de conserver dans le second membre les termes affectés de e#V—1.et ewv—1, puisque çe sant les seuls qui ne disparaissent. pas, dans l'intégrale cherçchée, on aura pour cette partie de D* la valeur
(K, + K, K,4: +K, Ki4a+KsK+3 etc.) (ex Ver {= eV); mais le facteur evv—1 Le—-wv-—1 se réduit à 2 cos A9, et on a entre les limites données f'd?.2 cos* Ag = #; donc la valeur générale du coefficient P(A,=—n) est
P(A —n)= K,+ K, Ki41+K, Rte ++ KoRuks+ ete. ;
or,on a par la farmule dubinome
Ki SK, . eu (—a), | . K, = : (— a),
K45 = K,. = —(o), Ki = (a), |
Kigs = KR OS Ke Me), etc, etc,
Donc enfin la valeur de P( À, —n) sera donnée par la formule suivante:
P(A,—n) = (—a}. Be nan 1m €
