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6. Remarquons que dans l’application de cette formule il faut supposer n—ou >A; en ellet, sin était À, le développement de D" ne pourrait donner aucun terme semblable à cos Ag; ainsi l'intégrale. / D'd@ cos A9, prise entre les limites données, serait nulle. La plus pétite valeur qu’on puisse donner à nest donc #—À, alors on a D” d@ cos Ag=7(— a), ce qui se vérifie immédiatement. |

Le cas de À—0o mérite encore d’être remarqué ; alors on a

SD'dp=r [1 enter (UP) 8 (CRE at etc.) (7)

Comparant cette formule à la formule (5), on en tire

SD'dp = (1 — a) [UE (8)

ce qui établit un rapport remarquable entre ces deux intégrales définies, rapport qui aurait lieu quand même n ne serait pas un nombre entier et d’où l’on déduirait aisément la formule de l’art. 148, tome I.

En général, si Pon observe que la valeur du coflicient C n’est autre chose que celle du coefficient B dans laquelle on aurait mis n + 1 au lieu de »,

on en déduira un rapport remarquable entre les intégrales / D"d? cos Ag et .

ne. Ce rapport est donné par Péquation suivante, dont l’équation (8)

n’est qu’un cas particulier.

JDrdg cos 2g on Rte PRE.)

7. Les formules précédentes résolvent complètement le problème du développement de la puissance D", lorsque l’exposant # est un entier positif ou négatif, elles peuvent même s'appliquer au cas où l’exposant » ne serait pas un nombre entier; mais alors la suite qui exprime la valeur du coefficient P (A, n) s'étend à l’infini, et on ne peut plus déterminer que par approximation les coefliciens successifs P,, P,, P,, etc., qui deviennent dans ce cas des transcendantes d’une nature particulière; d’où naît cetle sorte de paradoxe que le développement d’une quantité algébrique telle que D* ne peut s’exécuter qu’avec des coefliciens de nature transcendante. Nous examinerons ci-après les propriétés de ces coefliciens, afin de faciliter autant qu ’il est possible les calculs nécessaires pour leur détermination ; mais nous saisirons cette occasion de démontrer ici une formule assez remarquable qui a lieu dans le cas de n = }, et qui paraît ne se rattacher à aucune autre formule du même genre.

8. Si on fait n—; dans la formule (4) et que préalablement on mette au

lieu de AH R An , la fraction équivalente *2+1:2+2:::2#2

La

142... 1 1.2.3,..2 on aura 7P(A, +) ou COS xp x 1.3.5...2x—1 2à+-1 a +1: 2243 = " 2.4.6...2à (: ia. 2E+i d'axts. 244 Fes )

Mais si l’on considère l'intégrale Z = AE et qu’on développe

la quantité sous le signe, on aura | Z =fdg (sing ++ at, sinntg + Le at. sin+@ etc.) Effectuant l'intégration de chaque terme entre les limites ®=0, 9=#7, 1.3.5...2m—1

d’après la formule connue fd? sin°"p — ait se 7, On aura

1.3.5...2a—1 1 ns 2à+1 1.3 2AH1.2àk 3 | Z=r. Tes (1 ie. 2-2 v 1 * 2242. Ssat oe ):

et puisque cette valeur est la mème, au facteur a* prés, que celle de

LE SRE Æ, on aura en général la formule

d? cos 8 AP de sin@ . ÎrE F2 cos) = cr n 3 sin* @) ? (10)

où les deux intégrales sont prises depuis = 0 jusqu’à ® =7.

La valeur du coefficient P(A, +) que donne cette formule, peut se tirer directement d’une intégrale comprise dans l’art. 123, tome I. Cette intégrale est en général

1 — asinté dû 0 h ne D'tangé .

1 — 2a sin*# cosp + asinté * W/(1— asin*8) ATC DB + T1 —assin 8) ?

et si on la prend depuis Ô—0 jusqu’à 8=7, on aura

D'* ee f 1 — asint8 5 1 — 2a sin fcos® + a sin * {1 — a sin 3)

Développant la quantité sous le signe par la formule qui sert à exprimer D, dans l’art. 2, on aura

D'°=- rer + 24 sin*Ÿ cos ® +- 2a* sin{8 cos 2@ + etc.)

VC — a*sin*

Ainsi on voit que dans le développement de D” à, le coefficient P(A, à) sera en général 5 sd in" 4 cette intégrale étant prise depuis Û—0 jusæJ V( —asint 8)? 9

qu’à 0— 7.

On pourra toujours déterminer la valeur exacte de ce coefficient par les fonctions complètes F'a, E'a; mais si on voulait la déterminer par les qua-

dratures, la forme + ef Ru dB cos 4

que la forme = J: otre col où l’ordonnée ne suit pas une marche

aussi régulière.

serait beaucoup plus facile à calculer

à Il résulte aussi de l'expression P(A, = — Pet que le coef-

ficient P diminue continuellement à mesure os le nombre des termes À augmente, tant à raison du facteur constant 4°, qu’à raison du facteur variable sin’ 8. Cette expression fait d’ailleurs connaître deux limites entre lesquelles le coeflicient P(A, +) sera toujours contenu ; on aura en eflet

P(A,1)> € Sd sing > a. nr, dà sin” 8 Fe 1.3.5..2a— 1 ” P(A; D<T+ ES < 7 =5" 7 2.4.6..2 ‘

Nous remarquerons enfin qu’en différenciant par rapport à a, le coeflicient P(A, +), on en tirerait la valeur générale du coefficient P(A, ») pour le cas de na = ?, mais celte valeur serait moins simple que pour le cas der=

538 APPENDICE, $ IL. Solution du cas où l'exposant n n'est pas un nombre entier.

9. Supposant toujours que le développement de Dr" est représenté par la suite

P,+ 2P, cos ® + 2P, cos 29 2 P, cos 3@.. . + 2P, cos AP +ketc.,

l'expression générale du coefficient P, ou P(A), sera donnée par la formule (4), en y faisant le changement indiqué dans l’art. 8, on aura ainsi a In dpi (11) 1.3.3. + "A+ In. 217 De PE et PE om om LE nm me + 1.2 Ÿ AH41.a4+a + 1.2.3 j Ah 1.222.223 a+ete.). Une autre expression de ce même coflicient peut se tirer de la formule (6), en y changeant le signe de 7 : cette expression est

PO) ete mbat, a(i+?. n+#2 PNA nhantaht 4

Cp a n.n+1.n+2.. se x rte de |

(12) 1.2.3, .à °+E1° 1.2 ° Ab1.à42 n.nbi.n+2 ndanbtatintata FT 1.2.3 À‘ Afi.xp2.243 ai+etc.)

Cette formule renferme une suite moins convergente que celle de la formule (11), mais elle jouit de quelques avantages particuliers; elle fait voir , par exemple, que # étant positif, les coefliciens différentiels successifs

2, #2, 29, etc. seront tous positifs.

10, Soit V= Se, on aura en différenciant cette équation,

Ad — i :

W= Le — pass Ge 2 ,d sin A@,

et en réduisant au-même dénominateur ,

dV={(1+at) à . BEM (xtn—i)a. cn — ne

—(A—n+i)a. PACE,

intégraut de part et d’autre depuis ® = 0 jusqu’à 9 = 7 , et observant que dans ces deux limites V s’évanouit, on aura d’après l'équation (1),

(15) (ain) PO) (ÈS) PH —1-n) P(a—r) = 0.

Cette équation donne la loi générale qui lie entre eux trois termes consécu-

tifs quelconques de la suite P,, P,, P,, etc. ; elle fait voir qu'il suflit de connaître deux termes de cette suite pour déterminer tous les autres ; mais il y a des précautions à prendre, suivant les différens cas, pour que l’erreur qui peut exister sur les deux termes connus ne se multiplie pas dans le calcul des autres termes, de manière à rendre bientôt les résultats entièrement défectueux.