Si on fait P(Aa) = RS æ. A(A), et qu'on substitue

cette valeur dans l’équation (4), on aura (14) (: +755) Gi) (ia) À A)H+A (1) =0.

Cette équation exprime pareillement la loi qui règne entre trois termes consécutifs de la suite A,, AÀ,, À,, A,, etc. En supposant cette suite connue, le développement de D" serait donné par la formule

D'= A,+ 24.” A, cos ® + 24", de mi À, cos 2

+ a, MATE 4, cos 39 + etc.

Lorsque À est très grand, l’équation (14) donne à très peu près A (A+ 1)= ÈS A(Q) —2 A (A 1); d’où l’on peut conclure que la série A., A,, À,, etc. doit se confondre dans les termes éloignés avec une série récurrente dont léchelle de relation est He, — =; celle-ci aurait pour terme général & + 6 (5), æ et 6 étant des coefliciens constans. Ainsi lorsque À est très grand, on doit avoir aussi

A(A)=a+é (2) Mais comme , d’après l'équation (11), la valeur de

A (A) ne doit contenir aucune puissance négative de a, il s’ensuit qu’on a 6—0o; et qu’ainsi À étant très grand, on aura A (A)=æ«, ou A (A) égal à une constante. Cette constante se détermine en faisant À infini dans la valeur générale de A (A) donnée par l'équation (12), laquelle est

= n onHx ,, nn n+Ha.nhati (5) Arr ras et on a par cette supposition À (A) = (1 — a)". Mais ce résultat n’est que le premier terme d’une série propre à exprimer la valeur générale de A(A), lorsque À est très grand. Voici eomment on parvient à cette. série.

at+etc.,

12. Faisons, pour abréger, À + 1 = À', À + 2 = À", etc., et supposons

A() = af + D be Se re + etc.),

c', c”, c", etc. étant des coefliciens indépendans de à ; cette valeur donne

U # 3c° A(ÀA) — A(A + 1) = a (ae + ee + pomme + ete. ),

A1) — AQ + 0 = arte sl + en

multipliant le second membre de la dernière équation par À”, et observant que A'=ÀA"—2 =A"—5— )"—4,etc., on aura, après avoir divisé par À’,

AH )—A (A a) (ne Sir a + ete.)

Maintenant si on met l’équation (14) sous cette forme : 0=A(A)—A(AHi1)—a [A (A1) — A (a+ 2)]+ ET a*A (A +2), et qu’on substitue les valeurs précédentes, on aura une équation qui devant

être identique, donnera les équations de condition (Gi— a) c = (n° — n)a, 2(— a)" = (n° — n — 2)a%, 3(i—e) "= (n° — n — 2.3)ac, 4G—æ)e"= (nr — n — 3.4)ac", etc. ;

d’où l’on déduit les valeurs des coefliciens

etc.;

donc on a la formule générale

SECTION 1. 5x

— \é a RE she + . . — | AG)= (1e) : Rs. fr «th

; AREAS n.n—+it .@& s , (16) | re CT Adi.ata Lt) |

Dm] . 2 , Ni—3 n.nki.n+ a \5 a Lu 1.2.3 VAI. aH2.x243 3) ete, Cette suite a l'avantage de se terminer d’elle-même, toutes les fois que n est un entier positif ou négatif; mais si » est fractionnaire, comme nous le supposons, elle s’étendra à l'infini et ne sera convergente dans toute son étendue et pour toute valeur de À, que lorsqu'on aura 4° <1— a" ou a" <+,

13. Dans tous les cas, si À est fort grand, on aura une valeur très ap— prochée de A (à) par les premiers termes de la série, qui décroîtront alors d’une manière rapide. Dans cette hypothèse, si on prend le logarithme de A(A), et qu'en négligeant les termes qui ont pour diviseurs A, A4, etc. ; on réunisse deux termes tels que À + 2 en un seul on aura

= —— a = n) e log A (A) = ñ log (1 RE CRETE

D’un autre côté la valeur de P(A) peut en général se mettre sous. Ja forme

P(Ü)=< RES @A (à);

et puisque À est supposé très grand, on a par la formule de l’art. 74;

Tr(a+n — 22 = 96 RE = Ur — 1) log À Nu n) (a 22),

122* donc on aura

Alog a (m1) log An log (1-a')-£ log Ta (7) ePaper in (= nt 2À

valeur qui doit être exacte aux quantités près de l'ordre 5 et dans laquelle

il faudra multiplier les deux termes algébriques par le module m= 0.434,

sion veut que les logarithmes de cette équation soient changés en logarithmes vulgaires.

Nous devons observer, 1°. que si a était négatif, le terme À log a sera toujours le même que si a était positif, mais alors P(A) sera affecté du facteur

(— 1}, ce qui rendra P(A) négatif si À est impair; 2°. que si l’exposant x était négatif, c’est-à-dire si or aaît à! développer une puissance positive du polynome D, alors il faudrait dans le terme — log T#, mettre la valeur que prend la fonction Tr lorsque sa racine n est négative, valeur donnée par la formulé (43) du ehap. XV ; et dans le cas où cette valeur serait négative, on devra la considérer comme positive dans le terme — log Tr, et changer simplement le signe de P(À).

1] suit de ces deux observations, que le coeflicient P(A) ue deviendra négatif que dans le cas où la quantité &* Ta serait négative.

On pêut donc à l’aide de la formule (17) connaître d’une inanière aussi prompte que facile, la valeur et le signe d’un terme éloigné quelconque dans la suite P,, P,, P. etc; Si par exemple on fñta—=?,n=—1},A=—100, on trouvera log P,4, =#8.6430984, et Po —0.04396412; c'est la valeur très approdhée du 10 1° Lerme de la siite dont il s'agit. Fe

14. Révenons au calcul effectif des coefliciens P,, P,, P,, etc. Lorsque a sera assez petit, on pourra se servir des formules (11) où (12) indifféremment, pour calculer les coefliciens successifs qui seront donnés alors par des séries convergentes, tuais il suflira de calculer directement par ces séries les termes alternatifs P,, P,, P,, Ps, etc., et on en déduira les intermédiaires P,, P,, Pssietc., au moyen de l’équation (15) qui donne en général

PQ=, = [( Pa =) |:

cette équation est d’un usage également sûr, soit que a soit très petit, soit qu'il diffère très peu de l'unité.

Si on se bornait à calculer les deux prenniers termes P,, P, par les séries qui les représentént, et qu’ensuite on se servit de ces deux premiers termes pour calculer les suivans par l'équation (13), les erreurs se multiplieraient dans ces divérses-opérations, avec d’autaht plus de rapidité, que a serait plus petit. En effet, les erreurs absolues sur P,, P,, P,, etc. pourrnient croître

. ] 4 : 1 1 s ê dé suivant la progression =, — , —;, etc.; el comme ces termes eux-mêmes dé-

croissent à peu près suivant la progression a, 4°, «°, etc., l'erreur relative pourrait augmenter d’un terme au suivant, à peu près dans le rapport de 1 à

er erreur qui ne. tarderait pas à produire des résultats entièrement défectueux.

Lorsque a sera très près de l’unité, les séries comprises dans les formules (z1) et (1a) seront très peu convergentés , et it faudra en calculer un grand nombre de termes pour avoir, avec un degré d'approximation suffisant, les

SÉCTION 1. 543

deux premiers coefficiens Ps P,; mais dans ‘ee cas, on. pourra se servir de l’équation (13) pour calculer les coefliciens suivans P,, P,, P,, etc., etil ne sera pas à craindre que FE durs PRE d’un terme au suiyant. | 15. Au réste, on peut éviter les longueurs du calcul par séries, en’déterminant les deux coelliciens P, par les quadratures qui seprésentent les

intégrales 1 fr É- 2e ?, prises depuis ® = 0 jusqu’à ®= 7. Mais dans le cas où a est peu Aifférent de l'unité, li quantité D devient très pêtite lors-

que @ est très petit; ainsi l’ordonnée de Ja courbe qu'il faut quarrer, serait très grande vers l’origine des . Pour obvier à cet inconvénient , nous

observerons que l'intégrale [+ 2 peut en généra} être déterminée par l'intégrale / D" dpeos À@, puisqu'on a par le formule (9) décosxg n.nH+1.n+2.,..nHha—1 (a — art SD" d$ cos A9,

DO 1—n2—n.3—D....À—n0

Soit donc f D*:d@ cos A9 == 7 M(à), et on aura me nnHinta....n+à—: MG) P(A) = An —N— les... (1 Ainsi tout se réduit à trouver la quantité M{A) pour les deux, valeurs =0,À= :1,et0n aura les deux coefliciens cherchés

bn M, É. M, — QG aparr EE — ni NET LE

Or quelque petit-que soil, r —4; on pourra tamjours trau ver par les quadratures, des valeurs aussi approchées qu’on voudra de M, et M,; mais

* faciliter les calculs, il sera bon de supposer x > 1 , afin que l’ordonnée D*-: cos A@ de la courbe à quarrer, reste très petite lorsque ® = 0, ce qui n’arriverait pas si » était << 1. Cetle condition au reste est facile à remplir dans tous les cas ; car on verra bientôt que le développement de DT" peut toujours se déduire, par un calcul très simple, du développement de D",

16. 11 y a encore une autre mavière de calculer les coefliciens P(A), laquelle a l’a vantage de réussir également lorsque a est très petit et lorsqu'il est très près de l’unité. Supposons qu’on veuille prolonger la suite P,, P,, P,, etc. jusqu’au terme P,.,; on calculera directement les valeurs de A(m— 1) et A(m), par l’une ou lens des formules

n næ+h;. n,nkr mandat: nat AGDE. Fer he es. T2, AL AA

(8) 1" = In, 2—n Ain. An

AG Ge) + TE a e attete. ) .

Ces deux termes étant connus, on en déduira tous les précédens, depuis

- at +ete.,

A(m—2), A(m—3)...... jusqu’à À,, au moyen de la formule (14) qui donne A( 1) — A(à) Ha [A() — A(à+:1)]+ TS 5 aA(X +: »

Il ne restera plus qu’à substituer ces valeurs dans la formule D" = À, + 24. *A, cos ® + ga, "Lt À, cos 2® + 20° nnHki1,n+#2

et on aura le développement cherché de D",

Dans cette méthode, les quantités À,, A, , À,, etc. sont évaluées avec un degré presqu’égal d’exactitude, parce que la formule dont on fait usage ne permet pas que l'erreur augmente beaucoup en calculant les premiers termes par les deux derniers. Il arrivera donc que les coefliciens successifs P,, P,,. P,, etc. seront déterminés de plus en plus exactement à mesure que la série se prolonge plus loin; car les erreurs absolues étant les mêmes à peu près sur les coefliciens A(A), elles seront atténuées progressivement dans le rapport de 1 à a, sur les coefliciens P(à).