Ayant représenté le développeméit de D" par la formule

D"= P, + 2P,cos® + 2P, 00s 29 +-2P,.cos 39 + etc., supposons qu’on ait semblablement D '= Q, + 2Q, cos ® + 2Q, cos 29 + 20, cos 39 + etc.,

Q(A) étant la même fonction de # += 1 que P(A) est de 7. Nous allons faire voir que ces. deux! suites se déduisent aisément l’une de l’autre.

A, cos 39 + etc.,

En effet, si on différencie la quantité V = ee , On aura

de cos À d? À + d — AV = A TE + na PACE De — na. Ce ; intégrant de part et d’autre depuis 9= o jusqu’à = 7, et observant que dans ces limites V s’évanouit, il viendra, d’après l'équation (1),

0 =AP(à) + na [Q{a+ 1) — QG — 1)],

SECTION 1. 545 ce qui donne (19) PA = R[QA—:1)— QG +1)]:

ainsi On a successiyement P, = na (Q, — Q,), (Q, — Q),

æ | LS vIÈ

etc.

A l'égard du premier terme P,, il n’est point déterminé par cette formule ; mais comme on à D"=(1 + 4° — 24 cos @) D", si on multiplie la suite Q. + 2Q, cos @ + etc. par 1 + 4° — 24 cos®, et qu’on réduise les produits de cosinus en cosinus linéaires, on trouvera que le terme indépendant de @ est (1 + 4°) Q, — 2aQ,, et qu’ainsi on a (20) P.=(: + a°)Q, — 240, Ces formules offrent, comme on voit, un moyen très facile de déduire les eoefliciens P,, P,, P,, etc. qui répondent à l’exposant n, des coefficiens supposés connus Q,., Q,, Q,, etc. qui répondent à l’exposant #2 + 1. r8. Réciproquement si on veut déduire les coefficiens Q(à) qui répondent

à l'exposant n+ 1, des coefliciens P(A) qui répondent à l’exposant 7, il faudra d’abord déterminer Q. et Q, au moyen de trois équations

P,= (1 + 4)Q, — 2aQ,,

P, = na(Q, — Q,), G—nQ=EQ—-(G+m@

Ces équations donnent QG — a)Q = (r + a)Pe + ap, (Gi — à)Q, = 20P, + — (1+ a)P,,

ou plus simplement encore ù

546 APPENDICE, Connaissant Q, et Q,, on calculera les termes suivans Q,, Qs, etc., au

moyeu de l’équation (13), dans laquelle il faudra changer 7 en n—+1 et P(A) en Q(A), ce qui donnera (22) (A—n)Q(A+1)= “ET AQ(GA)—(A + n) QU — 1).

19. Mais on peut pour le même objet construire des formules plus commodes et qui serviront à calculer immédiatement les coefliciens Q (à), Q(A + 1), par le moyen des coefliciens correspondans P (A), P(A+ 1), P(A— 1).

Pour cela je tire de l’équation (19),

AP(Q)= na [Q(A — 1) — Qt 1)],

- (a+ 1) PQ + 1) = na {QQ)— QA + 2)] D'ailleurs équation (22) donne