SE 2.3 2.3.4. 32.3.4.5.6.7 L
on aura l'expression suivante, exacte aux quantités près de l'ordre c*", Ai cg —3 ot + 35 0°) — à ct (pt — 397) — 75 ce";
de là résulte /Adg, ou
Emo é(t sn sf) er
— 2\3 15 315 845 ar 16° 7 Désignons cette valeur par E= : sin C® + Q, nous aurons par le développement du premier terme,
E= Q+0—g 00 + cp — pre 09, et par conséquent, Q= € € — LE @ (4— ire); on a donc la valeur très ares (a) Ep = À sin c9 HR QE @7 (4— rie").
On trouverait par un calcul du:
(6) Fp=! log tang (47+ 109) — RQ + @ (4— re).
Ajoutant ces deux formules, on en tire une troisième non moins remarquable, savoir, Ep + Fo=<sin cp +: log tang (37 + + cp) 79.
743. La formule (a), réduite à son premier terme =: sin c@, donuera sept
décimales exactes si l’on a ® << 6°; elle en donnerait dix ou plus si on avait p <1°3. /
En prenant les deux premiers termes, la formule Ep=: - sin c@ +7 eg donnera sept décimales exactes, si on a ® < 16°4, et dix iailes ou on: si l’on a ® 6° 12.
pa LS 12
L'approximation sera à peu près semblable sur la valeur de F@, selon qu’on la borne au premier ou aux deux premiers termes.
Si on tient compte de tous les termes de la formule (a), il n’y aura de négligée dans la valeur de E@, qu’une partie dont le terme le plus grand bc ce terme ne sera pas d’une unité décimale du dixième ordre, si on a @ < 15°, et elle ne sera pas d’une unité décimale du septième ordre, si on a ® << 32°45. Le même degré d’exactitude n’aura pas lieu dans la formule (6) ; et pour avoir sept décimales exactes, il ne faudra guère passer la limite ® = 20°.
144. Exemple I. Soit e=sin 45° et @ = 10°, la Table 11 donne les valeurs suivantes :
. , , 1 est de l’ordre @°, et ne pourra jamais excéder sv” L'erreur due à
Eg = 0.157409 15655,
F® = 0.175497 63019; il faut les comparer à celles que donnent nos formules; et d’abord pour avoir la valeur de E, on calculera les deux prepuers termes de la formule (a) comme il suit |
co = 7° 415" 84413 ® = 7° sus... 9-24187 73 6 sinc®..... 9:09025 93615 Dosnside 6.20938 68 LLLETEEE 0.150351 49978 ee — 2.070918 12 = sin c?.... 9.24077 43503 issues 413020 56
= sin c? æ 0.17409 02140 =: 13496 Eg = 0.17409 15636.
On voit que Îles deux preraiers termes donnent la valeur de Eg avec huit décimales exactes, l’erreur n’étant que de dix-neuf unités décimales du dixième ordre. T en sera de même pour la valeur de F@ dont voici le calcul :
45 +icp —= 48327" 92206,
L'tang (45° + + cp) = 0.053973 43422.
Ce Jog-tang. étant um logarithme vulgaire, il faudra le multiplier par M pour le changer en logarithme byperbolique , comme la formule le suppose. Aüïnsi en appelant À le nombre précédent, on aura les logarithmes suivans,
CHAPITRE VIL :; gx pour déterminer le premier terme B de la formule (6), h.... 8.73025 19367
M... 0.362121 56887 B = 0,r7497 76676 ALL 0.15051 49978 ge bros. … 13496 B.... 9.24298 26232 F® = 0.17497 63180.
On voit que les sept premières décimales de Ja valeur de F@ sont exactes, et que l'erreur ne commence qu’à la huitième, où elle n’est pas de deux unités.
745. Pour obtenir une plus grande approximation, il faut tenir compte du troisième terme contenant @’. Or, puisqu'on a c* = +, la correction qu’il . faut appliquer à E, est égale à la correction précédente (1) multiphée
ol par £ de sorte qu’en appelant (2) cette seconde correction qui est addi-
“ tive, on aura (2)=().$; de même la seconde correction de F@ sera
(1)... 4.13020 56 0.17497 6318a Se .. 8.07798 94 (2)... — 161 5 (2).... 2.20819 50 F® = 0.17497 63018 5.
La correction (2) pour E@ sera onze fois moindre que celle de F#; elle est donc de quinze unités décimales du dixième ordre, ce qui donne la valeur corrigée de E@, comme il suit :
0.17409 15636 (2)... + 15 Ep = 0.17409 15651. On voit par conséquent que la valeur de F@ s'accorde exactement avec celle de la Table 1, et que la valeur de Eg ne diffère de celle de la Table que de quatre unités décimales du dixième ordre; mais l'amplitude n’est que de 10°.
746. Exemple IL. Soit c=sin 45° et = 20°, on trouve dans la Table I, Eg = 0.34557 56213, Fo = 0.35261 98854; il faut comparer ces valeurs à celles que donneront nos formules. Eu voici. 124:
le calcul :
co = 14°8' 31"68824 sin cp... 9.387097 35865 Pro. 9.54290 73633
=. .. 0.15051 49978 Ps 771453 68165 A.... 9.53848 85843 Fe. 207918 12460 A = 0.34553 224697 (a)... 5.63535 559 (ne. + 4 318725 Ep = 0.34557 543416.
Ainsi l'erreur de la formule, en prenant les deux premiers termes seule-
ment, n’est que de deux unités décimales du septième ordre. Voyons à quoi elle se réduira en ajoutant le troisième terme, ou la correction
(1)... 5.63535 557 0.34557 54341 6 Se. 7-63865 67 (a) = + 1879 4 (2)... 3.27401 2 Eg = 0.34557 56221.
On voit que.la valeur de E n’est en erreur que de huit unités décimales
du dixième ordre.
En calculant de même la valeur de F?, on trouvera,
par les deux premiers termes. ... F9 — 0.35262 20054, et par les trois termes..,,..... F® = 0.35261 99381;
l'erreur du dernier résultat est de cinq unités décimales du huitième ordre. 747. Exemple III. Soit c = sin 45° et ® = 30°, on trouvera
par deux termes ”" E9 — 0.51204 G1509, F? = 0.53566 01252
la formule par la Table I1........ 0.351204 93225, 0.53562 27328 Différence. . . — 31716, + 3 73024 i d pe A °}Ee — 0.51204 03619, Fe — 0.53562 48033 par la Table 11.,...... 0.51204 93225, : 0.563562 27328 Différence... + 394, + 20705.
Par ces derniers résultats, on voit que l'erreur de la formule n’est que de
