CHAPITRE IX

On peut considérer ®'* comme étant la limite des angles décroissans ®, ®', ®',etc.; ainsi on aura

H=— log tang (45° + 19") = l'tang (64°3/6",22329 1379). Pour calculer ce log-tangente, on fera a=—64°05 = 64°3', R'x= es 1379; et appliquant les formules PL » tag EE RP SEINS EL EU À

sin 2a?

on trouvera H= 0,31281 40842 60705. Enfin la formule Fp=— KMH donnera les résultats suivans :

H.... 9,49528 G2986 6865 M.... 0,36211 56826 9946 3 K.... 0,06207 66258 4558 5 = 9,91957 86152 1370 Fp= 0,83095 71234 6716.

767. Venons maintenant au calcul de la formule Eg = L'F@ + Pe sin ? ; la première partie se trouvera au moyen des formules qui déterminent L, comme il suit :

La seconde partie Pe sin @ — 24/e sin @’.P’—c sin @, et pour avoir P”, il faut connaître r” = c"” cos w” et 7” = c!" cos w""; or, d’après les valeurs déjà connues

= 9 — g" = 887"68037 024 = gp — QU 1.217984 824,

ou trouve les résultats suivans :

1:c05w”... 0.00000 {0217 70478 cos &°.., — 7570 ET PRES . 65398 47146 CMesssse — 12810 1:7....... 0.00001 05616 17624 russs.. — 19880 LS aus 39760

Par le moyen de cette valeur de 1——log (tr) , on trouve aisément le terme Z =24/c sin g'.P', ensuite on aura c sing = + cos 3° ++ sin 3°,

d’où l’on conclura la valeur de E®, comme il suit : TE 15

2V/c.... 0.233656 67247 35736 Z = 1.060981 27381 3605 sin 9’... 9-79271 99168 g0090 csin® = 0.52348 27454 9876 Muse . + 2 11233 14:68

Me... — 2 56850 Pesing= 0.54432 99926 3729 Me... + 6 L'Fe= 0. a 7321 Go29 Z....... 0.02930 77646 8355 75 Ep = 0.734409 77247 9758.

Les calculs de ées deux exemples ont été fort longs, malgré la simplicité des formules, parce qu’on a voulu obtenir des résultats exacts jusqu'à la quatorzième décimale ; mais ils s’abrégeraient beaucoup si l’on se bornait, comme il convient presque toujours, à dix ou à un moindre nombre de décimales.

768. L'addition que nous venons de faire au chap. XXI du traité précédent, nous donne l’occasion de placer ici une conséquence assez remarquable qu’on peut tirer de la formule (£’), chap. XXII.

Si l'on fait dans cette formule @=8, on aura n'=n; ainsi les deux fonctions fl(#, c, 8), N(n, b, 8), dont les modules sont complémens l’un de lautre et qui ont d’ailleurs le même paramètre et la même amplitude, pourront s'exprimer l’une par Pautre au moyen de l’équation

(6, 8) sin À cos à

La + lang 0[4(b,6) F(c,8) + a(c, 8) F(6, 8) = 8) F(b,8)—F(e, 8) E(b,8)—F(b, 8) E(c, 8) |:

Cette équation fait partie de la propriété mentionnée dans l'art, 110. Mais si on a c—b, c’est-à-dire si le module c= sin 45°, alors en omettant la désignation du module c et de l'amplitude 8, commune à tous les termes Un, ec. 8), a(c, 8), F(c,8), E(c, 8), on aura la formule

fn, c,0)+-4C%) rm, 6,8)

siné cos#

NET (n)=}r + (24 tang 0 + F—2E)F,

d’où l’on voit que dans ce cas ‘particulier la fonction de troisième espèce N(n) ou N(z, ce, 8), où l'on a z—ceot*8, s'exprime par les fonctions de première et de seconde espèce F et E.

Ce résultat est d’autant plus remarquable que l'amplitude 8, qui détermine le paramètre col*8, peut être prise à volonté et ne suppose point que F(c, 6) soit commensurable avec F'e. Si cette commensurabilité avait lieu, on sait par les propriétés connues que la fonction de troisième espèce