CHAPITRE X

Modification de la méthode trigonométrique du Chapitre VI

769. L: méthode que nous allons exposer n’est autre chose que celle du Chapitre VI, modifiée de manière qu’elle n’exige pas un travail préliminaire trop considérable , au moins lorsqu'on ne veut pas pousser l’approximation au delà d’un certain degré.

Supposons d’abord que l’on calcule par la méthode générale l’amplitude æ ou &, , qui satisfait à l'équation Fa= ;; F'e (nous prenons pour exemple la fraction =, mais une autre fraction telle que + ou +, pourrait être plus convenable dans certains cas, comme nous le verrons ci-après) ; au moyen de cette amplitude on déterminera successivement celles qui satisfont aux fonctions multiples Fa,— 2Fa, Fas= 3Fa, etc. On calculera en même temps les valeurs correspondantes de E , et du tout on formera un pelit tableau de dix lignes seulement, contenant les valeurs de @ et de E?, auquel on pourra joindre, pour la facilité des applications, les valeurs logarithmiques correspondantes de sin ®, tang @, A®. F'oyez uu tableau de-cette sort, art. 777.

Cela posé, ® ayant une valeur donnée quelconque, il s’agira de trouver, par le moyen de cette table, les valeurs des fonctions F@, Ep.

770. Supposons que la valeur de soit plus grande que &1 , elle sera comprise entre deux termes consécutifs de la première colonne ; soit a le terme le plus proche ou au moins celui pour lequel la différence F@— Fa, positive ou négative, est la plus petite, et soit ® —a+ x, x ayant le même signe que Fp—Fa; si l’on fait en même temps F (a+x)=Fa+F'y, l'amplitude y se déterminera trigonométriquement par les équations suivantes:

csinæ=sin 6, tang J'= cos 6 tang(a+ x),7 = —+\. csin(æ+x)=sin 6’, tang 4 = cos 6 tang a.

On voit qu’il faudra d’abord calculer les angles auxiliaires 6, 6’, ensuite les angles 4’ et 4, dont la différence est l’angle cherché y.

Connaiïssant y qui sera en général du même ordre que æ, et peu supérieur à x (excepté daus le seul cas où c et sin @ seront tous les deux ptu différens de Punité), on pourra déterminer Fr et Ey par les formules qui conviennent aux petites amplitudes, et on en déduira les fonctions cherchées

F® = Fa + Fr, Ep = Ea + Ey — c'sinasingsinr.

Cette sorte d’interpolation n’exigera en général qu’un calcul assez facile et fondé, comme on voit, sur des formules trigonométriques très simples.

Six est négatif, y le sera aussi; mais d’ailleurs le calcul sera toujours le même. Au reste la faculté qu’on a, suivant les différens cas, de prendre x positif ou négatif, permettra toujours de supposer Fy <1Fa; c'est ce qui aura lieu encore, lorsque ® sera moindre que «æ, mais tel cependant qu’on ait Fe> Fa. |

Nous remarquerons que si l’on fait sin & — VERT CNRS on aura exac-

. sin # pe tement sin y = re Par les auxiliaires 6 et 6”, on a Aa—cos 6, +

B(a+zx)=c0s6", ainsi l'angle w, troisième auxiliaire, se trouverait par l’é- : : sin x « ‘ quation Sin w= Fc Ge 0 Mais il sera presque toujours plus simple de se servir des formules précédentes, quoiqu’elles déterminent l’angle y par la différence de deux angles beaucoup plus grands 4” et L. 771. Nous avons donné dans le Chapitre VII des formules pour calculer les fonctions F@, E?, lorsque l'amplitude @ ne passe pas une certaine limite;