CHAPITRE 1. ue © A

sont ce que l'analyse paraît offrir de plus simple pour calculer jusqu’à’ la quatorzième décimale, les logarithmes des quatre fonctions F'c, E'c, F'6, E'6, dans le premier cas de Part. 645 , c’est-à-dire lorsque le module e est compris entre sin 45° et sin 26° 34".

654. Ces formules seisimplifieront encore lorsqu'on voudra obtenir une moins grande approximation, ou lorsque c sera plus petit que sin 26° 34’, parce qu’alors il ÿ aurait moins de termes à calculer dans la série des modules. |

Ainsi depuis c = sin 26° 34' jusqu’à e = sin 3° 11”, ou depuis c = 0.447 jusqu’à e— 0.0558, on pourra faire 4% = 1, et prendre æ% pour le dernier terme de la suite des modules, ce qui donnera

b° ace :

K=1/(7 , r= ? h= ÿ log &,

A=! cKÉFB(b%} (à — 2).

. vK Ces formules conviennent au second cas de l’art. 645.

655. Le troisième cas à considérer est celui où € est compris entre sin 3° 11° et sin 2’ 40", c'ést-à-dire entre 0.0558 et 0.000776. Alors on pourra faire °° = 1, et prendre c* pour le dernier térme de la série des modules $ on aura donc pour déterminer F'e et E'c, les formules

K= 1/(5) », ‘F'=;irs, Eto = Re (1— #00"),

Dans la dernière, le facteur 1 —+ c°*c** qu’on peut représenter par (4°}f, ne peut produire au plus que deux unités dans le quatorzième ordre de décimales, car la limite supérieure de c est déterminée par la condition que log b* n’est que d’une demi-unité de cet ordre. Ainsi, peu Si cette ir æ

ds. L°K Dans le mème cas, les fonctions F‘#, E‘4 se calculent par les formules

F'b—=KMé, h=;% 4 log £ ,

limite, on pourra négliger tout-à-fait ce facteur , et faire E'c =

Eb=e(1+A), A = 2 ce K°F. GS ; et on remarquera que le facteur 1. —r ne peut. donner au plus qu’une unité décimale du onzième ordre : ainsi il devra être négligé si on se borne

à dix décimales; alors on aurait simplement E' =g(: +: &K°F D),

656. Ces formules sont déjà réduites à un tel degré de simplicité, qu'il serait presque inutile de faire mention des deux derniers cas de l’ar-

ticle 645 ; Pun où l’on peut faire #1, K =, h=t1$ =

+ À l;; l’autre où l’on peut faire b=1, K=—1, h= log £.

Il ne reste plus qu’à faire voir dans quelques exemples, l’application des formules précédentes; nous commencerons par le cas où il faut apporter le plus de précision dans les calculs, mais qui offre plusieurs moyens de vérification ; et pour mieux juger de l’exactitude des formules, nous ne négligerons les décimales qu’au-delà du quinzième ordre.

EXEMPLE 1, €C=sin 45°.

657. On aura € = tang* 225 =(y2a—1}), b = 2 2/7 ce qui donne d’abord les logarithmes suivans ,

c,b... 9.84948 50021 G8o10 tang 22° 5... 0.61722 43146 G2137...0°... 9.099351 18092 42113 Posocosee 9-23444 86293 24274.

Pour trouver les termes suivans c*° et b*®, on calculera par la méthode de l’art. 646, d’abord P; ensuite les différens termes qui composent P, et que nous désignérons ici par tr), 2), 3).

pe... 8.093341 86336 60293 p.... 5.74665 09161 57 (3c°)... 7.86683 72673 20586 M... 9-63778 43113 00 B...... 0-09351 18092 42113 1)... 5.38443 52274 57 Pres... 7.879332 54580 78473 p'... 5.174665 0916 | j F.... 0.170609 1259 2)... 1.307917 74 p*... 5.74665 og 2%... 0.34678 7 3)... 7.40061 5.

D’après les logarithmes trouvés des trois parties de la valeur de P, le premier termé 1) se trouve par des Tables à dix décimales, 0.00002 42345 64925; mais comme on pourrait craindre, dans ce cas, que la quatorzième décimale ne fût pas exacte, et encore moins la quinzième, voici le moyen d’obtenir une plus grande précision.