CHAPITRE XL

dinaire p=t—3# + ;fé—;0+etc., dont tous les termes devront être multipliés par R°, et qui sera alors fort convergente. On ferait la même chose pour tang (90° me si @ était très près de 90°. Par exemple, pour calculer l'angle &,5 par le moyen de son log-tang., soit A le complémeut de a,, et tang A=t; on aura log t — 8,50587 09288 8083,

et A=RAI—i0+HEit— HSE). Voici les logarithmes de ces cinq termes, et les nombres correspondans exprimés en degrés et décimales de” degré.

À = :1,83588 25558 8493 donc a,; — 88° 16411 74441 1607.

792. Au moyen du tableau que nous venons de construire, la détermination des fonctions E et F pour toute amplitude proposée @ ; peut être ramenée immédiatement aux cas où l’amplitude proposée est moindre que 6°; car en choisissant pour a le terme de la table qui approche le plus de @ ( celui gu moins pour lequel la diflérence Fp—Fa, est la plus petite), on aura toujours F@ — Fa ou Fr < 3 F'e, et par conséquent y <6°.

Nous avons donné dans l’art. 778 les formules nécessaires pour calculer les valeurs des fonctions Ey et Fr, lorsque l’angle y est d’un petit nombre de degrés. Mais, lorsque y approchera de la limite 6°, ces formules, dans lesquelles on a négligé les termes de l’ordre y*, ne pourront guère donner que dix décimales exactes, et il faudrait les prolanger jusqu'aux termes y*' 0 même", pour avoir un degré d’exactitude égal à celui de notre tableau. Pour éviter cet inconvénient, et réduire tous les caleuls aux formules ordinaires d’interpolation , il faudra construire une seconde Table qui contienne les valeurs des fonctions E et F pour des erplitudes croissant par de pelits intervalles depuis 0° jusqu’à 6°,

Cette table, que nous appellerons la table n° 2, pour la distinguer de Ia table n° 1, que nous avons déjà construite, peut se calculer de demi-degré en demi-degré, par les formules de l’article cité, sauf à leur donner plus d’éten due, lorsque l'angle y devient plus grand ; mais nous préférous de la calculer ici par la méthode du chapitre VI, qui peut également servir à calculer la table principale n° 1. | :

1 suffira pour notre objet de calculer les valeurs de @ et de Ep qui répondent aux différentes valeurs n—=1, 2, 5,.... 12, dans l'équation F = . 5 car de cette manière les valeurs de @ croîtront par des intervalles moindres qu’un demi-degré, et l’interpolation pourra être faite avec toute l’exactitude qu’on peut désirer, pour toute valeur de 7 moindre que 12.

793. Cherchons d’abord l'amplitude 6 qui satisfait à l'équation F6 = à: = =t, où l’on a log t—7,92826 01863 4903. Le moyen le plus simple est de résoudre l'équation suivante dans laquelle on a négligé les quantités de l’ordre 6’ qui n’entrent pas dans les quatorze premières décimales. à ” |

leu DO CE ou L:

on en tire c* ct tit À #:

É—t—}ct +asét+ t; ensuite on aura E6 par l'équation

EC+Fé— a+ L 6; substituant la valeur connue de £, il en résulte 6 — 0,00847 72523 60254 F6 = 0,00847 73514 11832 E6 = 0,00847 71533 10760, on aura en même temps la formule mc , 1 mc log 6 = log he -S t TE U— nt, d’où l’on deduit la valeur de 6 en parties décimales de degré , comune il suit : Ge 7192825 51119 09746 R°.... 1,75812 26324 09172 7 968637 77445 18918 6... —0"48571 07821 09868.

CHAPITRE XI. 141 Maintenant, pour construire la table dont il s’agit, il faut reprendre les formules de lart. 731 ci-dessus.

794. Soient @°, ®, ®', trois termes consécutifs de la suite 6,, 6,,63,etc., qui répond aux valeurs successives nñ —=1, 2, 3, elc.; on déterminera k

par l’équation Le = ; € sin 6 — ip, qui donne

log 4 log + mL. pt LEE LES Ed etc);

si ensuite on fait d*g° = — 20, on aura pour déterminer w l’équation sin © = À sin (29 +), ou la série w = sin 29 — + 4° sin 49 + 3 À sin 6 — etc.

Enfin, pour déterminer E', on observera qu’à l'équation Fp+F6=F", correspond l’équation E6 + Ep=Eg' + c* sin 6 sin @ sin @', d’où résulte Eg’ =E 6 + Ep — c* sin 6 sin @ sin 9';

quant aux cofliciens qui entrent dans ces équations, voici leurs loga-

rithmes :

ko. + 5,24369 49064 2596 AR°.... 7,00181 55388 3513

LER°.. 194448 24496 +ÆR°.. 7,01208 6

sin6... 7,92824 99102 2144 c'sin6. 7,91748 97643 5160.

795. D’après ces formules, nous allons procéder aux calculs nécessaires pour former la table n° 2.

Calcul de 6, et EG...

Il faut, dans les formules, faire g —0, ®=6, el on aura g = 6,. On observera d’ailleurs que les tables à dix décimales suflisent pour calculer le premier terme de la valeur de w ; mais à cause de la petitesse de l'angle 29, il conviendra de calculer sou log-sinus par la formule du n° 76%, et on aura la valeur 6, par le calcul suivant :

sin 2@.. 8,22926 43006 7 (rh... 0°00001 70247 92974

*R°.... 7,00181 75388 3 (2)... — 2 98342 (1)... 5,28108 18395 (3)... A RE

@..... — 0,00001 70244 94637 sin 4@.. 8,53023 19 d'g"... ——0,00005 40489 89274 + ÂR°.. 1,94448 24 d'@".... — 0,48571 07821 04863 less: 0,47471 43 de... — 0,48567 67531 20594

Pu... — 0,48571 07821 09868 sin 6@.. 8,70622 6, = — 0,97138 75152 30462.

Pour avoir E6,, il faut calculer le terme c* sin 6 sin @ sin @', ou c* sin* 6 sin ®'; mais, dans la vue de faciliter le calcul de 6,, on cherchera à la fois les logarithmes de sin @’ et cos ®', par les formules de l’art. 763, ce qui donnera les résultats suivans :

R°9/..... 998759 25174 0 g"* 6,45853 97700 R°....... 1,75812 26324 1 9,33675 43156 aussi . 8,22926 98849 9 (1) 5,79529 40856 (1)... = 0,00006 24157 343 ®' 2,91707 95 ®"" 9,37562 (2)... 29 got 8,55860 531 798457 (5)... ? (2) 1,47568 26 (3) 7,36019

cos @’. — 0,00006 24187 246 3(1) = 0,00002 08052 448 c'sin6..... 5,84573-06746

+ (2). 109 san®....... 8,22924 90795

2 00004 441 Z..ssscssss 407498 85541 Pis 8,22926 98849 9 | sing’... 8,22924 90795 46 2F6....- = 0,016)95 43066 2152 cos ®"... — 6 24187 25 Z....... 11884 7145 UE 0,30102 99996 64 E6 = Eg — 0,01695 31181 5007.

sin2@'.. 8,53021 66564 85 Calcul de 6, et K6:.

Il faut, dans les formules , faire @° = 6, ® = 6, , et on aura @' = 6. Dans ce cas, sin 2@ devient ce qu'était sin 2@° dans le cas précédent.