CHAPITRE X

Au moyen de l'angle approché a = 50°37, :on trouvera rpar les formules ordinaires À'2= 50°,37274 12266 4851 ; quant à l'angle g', comme il n’est que d’un petit nombre de degrés, on pourra, en faisant tang p'=n t, calculer cet angle par la formule = 4{(1 — 234 — Rues + Gt), et on trouvera par les cinq premiers termes de la série p'—2°,51931 21820 4356. De là résulte

Puisque ? satisfait à l'équation F@ = 2F'c, la valeur de ® peut être véri-

fiée par la formule du n° 24, qui donne {sin 9=—9,90173 08351 6243, et de là

p=52°,89205 34086 886; la différence n’est que de trois unités du quatorzième chiffre, et on ne peut guère décider de quel côté est l’erreur. Enfin la valeur de Eg se trouvera par le calcul suivant :

c'... 9,98923 98541 3016 EA... = 0,773597 70241 8163 sin À. 9,88700 45821 5413 Eu .. = 0,06771 55646 5154 nul 8,85069 3186 406: 0,84169 45888 3317 sim @. 990173 08331 6245 Bus 0,04061 33165 2661 z.... 8,60866 84558 8:33 Eo.. — 0,80108 12723 0656.

799- Pour donner une seconde application des mêmes Tables, cherchons les valeurs des fonctions E et F qui répondent à l'amplitude = 75". |

La plus proche valeur de ® contenue dans la Table n° 1, est At 76°,23603 20752 60 ; elle répond à la fonction FA = + F'c; il faut donc déterminer l’amplitude w par l'équation Fu=FA—F?, ou par les formules.

tang À'=tang À.A®, tang® =tang@.an, m—=A—".

Connaissant x, il sera facile d’avoir, par l’interpolation de la Table n° 2, la valeur correspondante de # qui donnera celle de Fy et ensuite celle de Eu. Voici le détail de tous ces calculs.

On a, par la Table n° 1 , les logarithmes de tang À el AA ; on a immédiatement / tang ®, ainsi il’ ne reste à trouver que /AY, ce qui se fera par la formule à = cos @y/(1+ A), dans laquelle À 2 b* tang*@, et d’où résulte {19 = 9,47668 59066 8751. D’après ces valeurs, on formera celles de Z tang À' et Z'tang g', savoir:

tang À.. 0,61091 04252 1560 tang®.. 0,57194 75475 3330 AD... 9,:47668 59066 8751 AA..... 0,45071 19110 1552

tang À'.. 0,08759 63319 0311 tang @'.. 0,02265 94575 4882

d’où l’on déduit À = 50°73943 77571 6697 ® = 46,49403 54355 3356 m' = 4,24540 23196 33a1.

800. 11 faut maintenant chercher dans la Table n° 2, la valeur de x qui répond à cette valeur de @; on voit que cette valeur est comprise entre 8 et 9, et qu’en faisant n=8+x, on aura à déterminer x par la seconde formule générale d’interpolation , savoir :

Aux) (A + T (ASH LE (VAS TE (JtA ete,

dans laquelle les nombres donnés par la table sont :

A'— pu = 0,12191 44559 .8505 JMA°® = + 846 oi —= 0,48448 75698 5390 d'A“ = + 119 5287 d'A = — 27 13720 7596 dAS = — 6200

Après quelques essais dans lesquels on peut négliger les décimales qui passent le dixième rang, on trouve æ=—0,74850 756125. Pour plus d’exactitude, il conviendra de substituer cette valeur dans le second membre de l’équation à résoudre, afin d’avoir la différence entre le résultat de la substitution et la valeur donnée de A’ —.

Résultat de la substitution... o,12191 44559 7543

A'—p..... 0,12191 44559 8505 Différence. .. r = 962.

x . | \ -2 ; r | De là ou voit que 1 —x doit être augmenté de Fi = 1988 , ce qui donnera pour la vraie valeur de x

Connaissant x, on’aura Fu= ee F'e, et par conséquent........ .

Fo T., F'e = PAR . F'e, ce qui donne le loga-

rithme de cette fonction :

CHAPITRE XI 157 F'e.... 0,51259 14107 1659 coefr... 977 7975 36954 8302

801. Pour calculer E®, il faut d’abord chercher Ex par l’interpolation de la Table n° 2; en appelant de nouveau A le terme Eg qui répond à n = 8, la valeur cherchée sera donnée par la formule

Eu—A'—(1—x) (A+ © (OA ET (SAN TE (AtA TS + etc.

où l’on a

A' = 0,07615 20743 1122 dMA9% = + 46 7791 d'A = 843 45096 5968 dJSA%# = + 6 5789 d'A = — 94512 9760 MAS = — 463 d'A = — 11696 8077 d'AN = — Gs.

Substituant ces valeurs et celle de x, on trouvera Eu —0,07403 01260 4731, enfin on aura à calculer E@ par la form. Ep+Eu=EA+c"sin sing sin À

c.... 998923 98541 3016 EA = 0,98484 13820 8090 sin ®.. 9,98494 37781 0267 Eu = 0,07403 01260 4731 sin À.. 998734 62777 4410 0,91081 12560 3359 sinu.. 8,86939 87498 6310 3.... 0,06775 30202 0202 7583 3..... 8,85092 86598 4005 Ep — 0,97856 42763 0942.

Cette valeur et celle de ZF@ s'accordent suflisamment avec celles qu’on a trouvées par la méthode directe, n° 764 et 765.

802. Nous avons cru devoir exposer avec beaucoup de détail tout ce qui concerne la construclion et l’usage des Tables n° 1 et n° 2, relatives au module e=sin 81°; les calculs ont été faits avec une exactitude scrupuleuse, et soumis à un grand nombre de vérifications, de manière qu’on peut être assuré que les résultats consignés dans ces lables, sont exacts autant qu'ils peuvent l'être, d’après les Tables trigonométriqnes à quatorze décimales, dont nous avons fait usage, lesquelles sont quelquefois en erreur de une, deux et même trois unités dans le dernier chiffre. On en voit un exemple dans le logarithme de 8 ou cos 81°,qui, dans la T'rigonom. Brit. , est 9,19433 24413 5701, et dont les derniers chiffres doivent être 5699. En suivant les mêmes procédés qui ont été indiqués dans la construction de ces Tables, et

dans les deux applications que nous en avons données, on parviendra donc dans tous les cas à la détermination des fonctions E et F et à la solution des questions qui en dépendent, avec un degré de précision supérieur, non-seulement aux besoins de la pratique, mais à ceux des recherches théoriques les plus délicates.

Je ne dissimulerai pas combien est pénible le calcul d’une table telle que la Table n° 1 qui n’a que seize lignes, ou que la Table n° 2 qui n’en a que douze; mais, si On aspire à un aussi grand degré d’exactitude, il semble qu’on n’y peut parvenir que par le secours de ces ables, ou par la méthode générale fondée sur la formation préliminaire de l'échelle des modules. C’est au calculateur à choisir entre ces deux méthodes, celle qui lui paraîtra la moins pénible.

Comme la formation de l’échelle des modules se réduit, d’après nos formules, à un travail assez court, il est vraisemblable qu’on jugera que la méthode générale mérite la préférence, si Pon n’a à calculer qu’un petit nombre de fonctions E et F; mais s’il y avait lieu de calculer un grand nombre de ces functions, l’autre procédé paraît être le plus avantageux.

Au reste, nous avons déjà dit que si on se borne à dix décimales dans la formation de la Table auxiliaire n° 1, auquel cas on peut se passer de la Table n° 2, le calcul de cette table et son usage dans les cas particuliers, deviendront très faciles , et rentreront dans la classe des calculs trigonométriques ordinaires , surtout si le module est plus petit que sin 45°, ce qui permettra de prendre la valeur de æ daus la Table VII; et puisqu’alors les résultats sont exacts jusqu’à la dixième décimale, ou au moins jusqu’à la neuvième, il ne paraît pas qu’on puisse proposer rien de plus simple pour le calcul des fonctions E et F, au moins tant qu’il n’existera pus des Tables suffisamment étendues, au moyen desquelles la détermination de ces fonctions serait réduite aux règles ordinaires de l’interpolation.

803. Remarquons en finissant que le Tableau n° 1 pourrait être réduit aux cinq termes &,, &,, &,, dy, æ,4, et que dans cet état, il suflirait encore pour ramener les fonctions proposées Ep, F?, au cas où l’amplitude est moindre que 6°. Pareille observation s'applique à plus forte raison aux Tables auxiliaires construites pour des modules moindres que sin 81°.

En effet, 1°. si l'amplitude donnée @ est comprise entre &, et &,e , ou 90°, * June des deux différences F®—Fa,, F'c—F@, sera moindre que +F'e ainsi, en faisant la plus petite des deux différences = F?', on aura @ Ce, 11 faudra donc d’abord déterminer @, soit par l’équation algébrique qui cor-